Derivate

@annux

Ciao.

La funzione assegnata ammette come rapporto incrementale:

(√(3/(x + h)) - 1/(x + h)^2 - (√(3/x) - 1/x^2))/h

Quindi procediamo facendo la differenza fra due rapporti incrementali:

(√(3/(x + h)) - √(3/x))/h

- (meno)

(1/(x + h)^2 - 1/x^2)/h

Li analizziamo singolarmente

tenendo presente sempre il C.E. della funzione che è x > 0

Quindi 1° rapporto:

razionalizziamo il numeratore:

(√(3/(x + h)) - √(3/x))/h·(√(3/(x + h)) + √(3/x))/(√(3/(x + h)) + √(3/x))

si ottiene:

(- 3/(x·(x + h)))/(√(3/(x + h)) + √(3/x))

che per h--->0

- 3/x^2/(2·√(3/x))=- √3/(2·x^(3/2))

Poi 2° rapporto incrementale:

(1/(x + h)^2 - 1/x^2)/h= (- h·(2·x + h)/(x^2·(x + h)^2))/h

Si semplifica per h (si può perché h---->0 è non è 0!)

- (2·x + h)/(x^2·(x + h)^2)·1

LIM(- (2·x + h)/(x^2·(x + h)^2))=- 2/x^3

quindi, per quanto detto:

y'=dy/dx= - √3/(2·x^(3/2)) - (- 2/x^3)

y'=2/x^3 - √3/(2·x^(3/2))

Poniamo xo > 0 e x = xo + h

il rapporto incrementale é

rad (3/(xo+h)) - 1/(xo + h)^2 - rad(3/xo) + 1/xo^2 ]/h =

= (rad(3) * [ 1/rad(xo+h) - 1/rad(xo) ] - [ 1/(xo+h)^2 - 1/xo^2 ])/h =

= rad(3) * [ rad(xo) - rad(xo+h) ]/rad(xo*(xo+h)) * 1/h - [ (xo^2 - (xo+h)^2 ]/(xo^2*(xo+h)^2) * 1/h =

= rad(3) * [ rad(xo) - rad(xo+h) ]/rad(xo*(xo+h)) * [ rad(xo) + rad(xo + h)]/[ h*(rad(xo) + rad(xo + h)) ] +

- (xo^2 - xo^2 - h^2 - 2hxo)/(h*xo^2*(xo+h)^2) =

= rad(3) * (xo - xo - h)/(h * rad(xo)rad(xo +h) *((rad(xo) + rad(xo + h))) +

+ h(h + 2xo)/(h*xo^2*(xo+h)^2) =

= - rad(3) * 1/(rad(xo)rad(xo +h) *((rad(xo) + rad(xo + h))) + (2xo +h)/[xo^2*(xo+h)^2]

Passando al limite per h-> 0 si ottiene

- rad(3)/(xo^2 *2 rad(xo)) + 2xo/xo^4 =

= - 1/2 * rad(3/xo^3) + 2/xo^3

e quindi f'(x) = - 1/2 rad(3/x^3) + 2/x^3