Derivate

Problema:

Si determino le coordinate cartesiane dei punti nei quali le rette tangenti alla curva di equazione $x²+y³-8x-12y=4$ risultano essere parallele all'asse delle ordinate.

Soluzione:

Il quesito è facilmente risolvibile immaginando di ruotare di 90° il grafico ed applicando ciò che già è noto circa i punti stazionari e le condizioni di tangenza.

L'equazione della curva può essere espressa dunque in due equazioni come segue:

$x²+y³-8x-12y=4$

$x²-8x=4+12y-y³$

$x²-8x+16=4+12y-y³+16$

$(x-4)²=20+12y-y³$

$x=±\sqrt{20+12y-y³}+4$

I punti stazionari rappresentano i punti ove la tangente è orizzontale, per definizione essi si individuano ponendo la derivata prima pari a 0. 

$\pm \frac{d}{dy} \sqrt{20+12y-y³}+4= \pm \frac{-3y²+12}{2\sqrt{20+12y-y³}}=0 \rightarrow y_1=2, y_2=-2$ 

Sostituendo i valori trovati nell'equazione della curva si individuano i seguenti punti validi:

$P_1(-2,2), P_2(10,2)$ per $y≥0$

L'individuazione dei punti per $y≤0$ è lasciata al lettore.

Quesito carino.

Il seguente grafico è stato realizzato tramite l'elaboratore grafico Desmos.

Lo svolgo spietatamente con la derivazione di funzioni implicite.