[Risolto] Derivate

Fai riferimento alla figura allegata.

ΗΒ = √(r^2 - y^2) = raggio di base del cono inscritto alla sfera

a = b = √((r^2 - y^2) + (r + y)^2) = apotema laterale del cono

a = b = √2·√(r·(y + r))

Α (base)= pi·(r^2 - y^2)

Α (laterale)= 1/2·(2·pi·ΗΒ)·a = (pi·√(r^2 - y^2))·√2·√(r·(y + r))

Α (laterale) = √2·pi·√(r^2 - y^2)·√(r·(y + r))

A(totale)= pi·(r^2 - y^2) + √2·pi·√(r^2 - y^2)·√(r·(y + r))

C.N. A(totale)' =0  (la derivata)

√2·pi·(r - 3·y)·√(r·(y + r))/(2·√(r^2 - y^2)) - 2·pi·y=0

- √2·pi·(2·√2·y·√(r^2 - y^2) + (3·y - r)·√(r·(y + r)))/(2·√(r^2 - y^2)) =0

√2·pi(2·√2·y·√(r^2 - y^2) + (3·y - r)·√(r·(y + r))) = 0

risolvo ed ottengo:

y = r·(7/16 - √17/16) ∨ y = -r

(scarto la seconda)

Αmax= pi·(r^2 - (r·(7/16 - √17/16))^2) +

+√2·pi·√(r^2 - (r·(7/16 - √17/16))^2)·√(r·(r·(7/16 - √17/16) + r))

Αmax = pi·r^2·((51·√17 + 107)/128)