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[Risolto] Derivate

  

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Sia a>0; considera la funzione:

f(x)=xªcos(1/x³) [x≠0], 0 [x=0]

Determina per quali valori di a:

È derivabile in R

È derivabile in R e la derivata è continua in R

[a>1, a>4]

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Una funzione è derivabile in un punto, se esiste finito il limite del rapporto incrementabile.

La funzione data è sicuramente derivabile in ℝ\{0} essendo prodotto/composizione di funzioni elementari derivabili. L' unico punto critico è x = 0. Verifichiamo per quali a risulta derivabile in x=0.

$f'(0) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \frac {f(h)-f(0)}{h}$

$ f'(0) = \displaystyle\lim_{h \to 0}  h^{a-1} \cdot cos(\frac{1}{x^3}) $

tale limite esiste per a > 1, in tal caso il limite vale 0. 

nota. Il termine con il coseno è un termine limitato per ogni valore di x ∈ℝ \ {0}.

.

Calcoliamo con le note regole la derivata della funzione in ℝ \ {0}.

$f'(x) = 3x^{a-4}sin(\frac{1}{x^3}) + ax^{a-1}cos(\frac{1}{x^3})$

La derivata sarà continua se il suo limite per x → 0 vale 0 (vedi punto precedente).

  • Il primo addendo tende a zero solo per a > 4
  • Il secondo tende a zero per a > 1

La loro somma tenderà a zero solo per a > 4.

 



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SOS Matematica

4.6
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