Sia a>0; considera la funzione:
f(x)=xªcos(1/x³) [x≠0], 0 [x=0]
Determina per quali valori di a:
È derivabile in R
È derivabile in R e la derivata è continua in R
[a>1, a>4]
Sia a>0; considera la funzione:
f(x)=xªcos(1/x³) [x≠0], 0 [x=0]
Determina per quali valori di a:
È derivabile in R
È derivabile in R e la derivata è continua in R
[a>1, a>4]
1
punto
Livello 0
Una funzione è derivabile in un punto, se esiste finito il limite del rapporto incrementabile.
La funzione data è sicuramente derivabile in ℝ\{0} essendo prodotto/composizione di funzioni elementari derivabili. L' unico punto critico è x = 0. Verifichiamo per quali a risulta derivabile in x=0.
$f'(0) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \frac {f(h)-f(0)}{h}$
$ f'(0) = \displaystyle\lim_{h \to 0} h^{a-1} \cdot cos(\frac{1}{x^3}) $
tale limite esiste per a > 1, in tal caso il limite vale 0.
nota. Il termine con il coseno è un termine limitato per ogni valore di x ∈ℝ \ {0}.
.
Calcoliamo con le note regole la derivata della funzione in ℝ \ {0}.
$f'(x) = 3x^{a-4}sin(\frac{1}{x^3}) + ax^{a-1}cos(\frac{1}{x^3})$
La derivata sarà continua se il suo limite per x → 0 vale 0 (vedi punto precedente).
La loro somma tenderà a zero solo per a > 4.
10316
punti
Livello 3