Date le funzioni $f(x)=\ln (-3 x)$ e $g(x)=-\frac{\ln (-5 x-4)}{x^2+4 x+3}$
a. determina il loro dominio;
b. verifica che entrambi i grafici passano per il punto $P(-2 ; \ln 6)$;
c. determina l'angolo acuto formato dalle tangenti ai grafici delle due curve in $P$, approssimandolo a gradi e primi sessagesimali;
d. studia la continuità di $g(x)$ in $x=-1 \mathrm{e}$ in $x=-3$.
Aiuto in questo esercizio lettera c/d
154
punti
Livello 1
L'angolo compreso tra due rette di coefficienti $m_1$ e $m_2$ si calcola come:
$ tan(\alpha) = \frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}$
determiniamo i coefficienti, calcolando la derivata delle funzioni $f$ e $g$ in P:
$f(x)=ln(-3x)$
$ f'(x)= \frac{-3}{-3x} = \frac{1}{x}$
$ m_1 = f'(-2) = \frac{-1}{2}$
$g(x)=\frac{-ln(-5x-4)}{x^2+4x+3}$
$ g'(x)= \frac{\frac{5}{-5x-4}(x^2+4x+3)+ln(-5x-4)(2x+4)}{(x^2+4x+3)^2}$
$g'(-2)=\frac{\frac{5}{10-4}(4-8+3)+ln(10-4)(-4+4)}{(4-8+3)^2} = -\frac{5}{6}$
Dunque:
$tan(\alpha)= \frac{\frac{-1}{2}-\frac{-5}{6}}{1+(\frac{-1}{2})(\frac{-5}{6})} = \frac{4}{17}$
$alpha = arctan \frac{4}{17} = 13°14'$
Per la continuità vediamo che:
$ lim_{x\rightarrow -1} \frac{-ln(-5x-4)}{x^2+4x+3} = \frac{-ln(5-4)}{1-4+3}= \frac{0}{0}$
Per risolvere la forma indeterminata consideriamo il cambio di variabile:
$ t=x+1$ in modo che per $x\rightarrow -1$ abbiamo $t\rightarrow 0$
da cui
$ x= t-1$
Sostituiamo:
$ lim_{t\rightarrow 0} \frac{-ln(-5(t-1)-4)}{(t-1)^2+4(t-1)+3} =$
facendo i calcoli:
$lim_{t\rightarrow 0} \frac{-ln(1-5t)}{-t} = lim_{t\rightarrow 0} \frac{-5ln(1-5t)}{-5t}=-5$
abbiamo dunque una discontinuità eliminabile (3 specie) in $x=-1$ dato che i limiti destro e sinistro sono uguali e pari a -5, ma la funzione non è definita nel punto.
Analogamente:
$ lim_{x\rightarrow -3} \frac{-ln(-5x-4)}{x^2+4x+3} = \frac{-ln(15-4)}{9-12+3}= \frac{-ln(11)}{0} = \infty$
per cui in $x=-3$ abbiamo una discontinuità di II specie.
Noemi
9874
punti
Livello 5
