Si vuole costruire un aquilone a forma di settore circolare con una superficie che misura $8 \mathrm{~m}^2$. Si determini l'angolo $\alpha$ del settore in modo che il contorno dell'aquilone sia minimo.
Non capisco come calcolare DERIVATE questa parte.
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Livello 1
"Io sono all'antica, signora!" come disse Fantastichini nella migliore scena di "Saturno contro".
Essendo all'antica chiamo x e non α la variabile della funzione perimetro p da minimizzare.
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Nel cerchio di raggio r il settore d'ampiezza x ha l'area, che dev'essere otto,
* S = (x/2)*r^2 = 8 m^2 ≡ r = 4/√x m
e perimetro, che dev'essere minimo,
* p(x) = 2*r + r*x ≡
≡ y = 4*(x + 2)/√x
cioè una specie d'iperbole cubica. Vedi al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5Bx*y%3D0%2Cy%3D4*%28x--2%29%2F%E2%88%9Ax%5Dx%3D0to2*pi
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Contrariamente sia ai tuoi titolo ("Derivate") e dichiarazione ostrogota ("Non capisco come calcolare DERIVATE questa parte") che all'analisi di @EidosM e allo screenshot io penso che dovrebbe bastare osservare la forma
≡ y = (4*x + 8)/(1*√x + 0)
per evitare ogni derivata e spicciarsela col solo sistema
* (y = k) & (y = 4*(x + 2)/√x) & (k > 0) ≡
≡ (x = (k^2 - 64 ± √((k^2 - 128)*k^2))/32) & (y = k) & (k > 0)
le cui soluzioni sono reali e coincidenti sul punto di tangenza nel minimo di p(x) se e solo se
≡ ((k^2 - 128)*k^2 = 0) & (k > 0) ≡ k = 8*√2
da cui
* y = 8*√2 m
* x = ((8*√2)^2 - 64)/32 = 2 rad ~= 114° 35' 30''
* r = 4/√2 = 2*√2 ~= 2.828 m
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Genius I
@exprof Grazie.
f(a) = (a + 2)/rad(a)
f'(a) = [1 * rad(a) - (a+2) * 1/(2 rad(a))]/a >= 0
derivata del rapporto
(2a - a - 2)/(2 a rad (a)) >= 0
il denominatore é sempre positivo
a - 2 >= 0
a >= 2 intervallo di crescenza
a = 2 é un punto di minimo.
Ti lascio da verificare che é assoluto
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Livello 7
@eidosm Ancola non lo capisco bene. Dov'è sparito rad2S?
E' una costante moltiplicativa. Per derivazione si ripropone inalterata e non invide sugli zeri, né sul segno perché é positiva.
