Derivate

Se passa per l'origine d = 0

y'(0) = 1 =>  3ax^2 + 2bx + c|(x=0) = 1 => c = 1

y = ax^3 + bx^2 + x

non può passare per (0,2) perché se y(0) = 0 non può essere 2.

Controlla i dati.

Dovresti curare un po' di più o l'italiano o la presentazione (o, magari, tutt'e due!).
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Si richiede di soddisfare ai seguenti vincoli sul grafico della generica funzione razionale
* y = a*x^3 + b*y^2 + c*x + d ≡
≡ f(x, y) = a*x^3 + c*x + b*y^2 - y + d = 0
con pendenza
* m(x, y) = ∂y/∂x = (∂f/∂x)/(∂f/∂y) = (3*a*x^2 + c)/(2*b*y - 1)
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a) Che passi per l'origine
* a*0^3 + c*0 + b*0^2 - 0 + d = 0 ≡ d = 0
* f(x, y) = a*x^3 + c*x + b*y^2 - y = 0
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b1) Che la tangente nell'origine passi per A(0, 2), cioè sia l'asse y (x = 0)
* (x = 0) & (a*x^3 + c*x + b*y^2 - y = 0)
ha risolvente
* b*y^2 - y = 0
con discriminante Δ = 1 che, non potendosi azzerare, esclude la tangenza.
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b2) Che la tangente nell'origine sia parallela alla retta y = x + 5 di pendenza uno
* - c = 1 ≡ c = - 1
* f(x, y) = a*x^3 - x + b*y^2 - y = 0
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b3) Che la tangente nell'origine sia perpendicolare alla retta
* x + 2*y = 1 ≡ y = (1 - x)/2
di pendenza - 1/2 e il cui fascio ortogonale ha pendenza + 2.
* - c = + 2 ≡ c = - 2
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Per poter scegliere che fare di questo pasticcio è obbligatorio depasticciarlo, cioè farlo passare per la macchina alimentata a salsicce che produce maiali grugnenti (era in un cartoon di Disney); come dicevo all'inizio: o scrivi meglio o ti fai capire di più.