Salve gentilissimi, ho svolto la derivata prima di questa funzione (quella presente in alto a destra) ma ho difficoltà per la derivata seconda. Qualcuno potrebbe aiutarmi a risolverla? Grazie mille in anticipo.
Salve gentilissimi, ho svolto la derivata prima di questa funzione (quella presente in alto a destra) ma ho difficoltà per la derivata seconda. Qualcuno potrebbe aiutarmi a risolverla? Grazie mille in anticipo.
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Livello 0
* y = √(x^2 - 1)/(x^2 - 4)
* y' = (x^3 + 2*x)/(√(x^2 - 1)*(x^2 - 4)^2)
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LA DERIVAZIONE E' UN PROCESSO TOP DOWN: devi sviluppare un albero di risultati parziali discendendo dalla radice dell'esspressione data alle foglie delle derivate fondamentali.
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La funzione derivanda
* f(x) = y' = (x^3 + 2*x)/(√(x^2 - 1)*(x^2 - 4)^2)
è il rapporto fra i termini
* p(x) = (x^3 + 2*x)
* q(x) = (√(x^2 - 1)*(x^2 - 4)^2)
e si deriva con la REGOLA DEL RAPPORTO
* f'(x) = D[p(x)/q(x)] = (q(x)*p'(x) - p(x)*q'(x))/(q(x))^2
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p(x) è un polinomio e si deriva applicando la LINEARITA' DELLA DERIVATA
* p'(x) = D[x^3 + 2*x] = D[x^3] + 2*D[x^1]
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q(x) è una prodotto fra i fattori
* r(x) = √(x^2 - 1)
* s(x) = (x^2 - 4)^2
e si deriva con la REGOLA DEL PRODOTTO
* f'(x) = D[r(x)/s(x)] = s(x)*r'(x) + r(x)*s'(x)
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r(x) ed s(x) sono funzioni composte, potenza k di una base polinomio b(x), e si derivano con la REGOLA DELLA FUNZIONE COMPOSTA
* D[(b(x))^k] = k*((b(x))^(k - 1))*D[b(x)]
cioè
* r'(x) = D[(x^2 - 1)^(1/2)] = (dr/db)*db/dx = ((x^2 - 1)^(- 1/2)/2)*D[x^2 - 1]
* s'(x) = D[(x^2 - 4)^2] = (ds/db)*db/dx = (2*(x^2 - 4))*D[x^2 - 4]
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Le basi b(x) sono polinomi e si derivano applicando la LINEARITA' DELLA DERIVATA
* D[x^2 - 1] = D[x^2] - D[x^0]
* D[x^2 - 4] = D[x^2] - 4*D[x^0]
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Tutti le derivande foglie dell'albero sono multipli di potenze della variabile
* D[x^3], D[x^2], D[x^1], D[x^0]
e si derivano con la REGOLA DELLA POTENZA
* D[b^k] = k*b^(k - 1)
come già fatto per dr/db.
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LA PRESENTAZIONE DELLA DERIVATA E' UN PROCESSO BOTTOM UP: devi assemblare i risultati risalendo dalle foglie alla radice.
Se non commetti errori di montaggio dovresti ottenere
* y'' = - (2*x^6 + 15*x^4 - 18*x^2 - 8)/((x^2 - 4)*√(x^2 - 1))^3
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Genius I
@exprof ciao, grazie mille per la risposta. Mi potresti aiutare passaggio dopo passaggio? Sono bloccato su questo esercizio da questa mattina
@Riccardo18
Forse devi leggere di nuovo, con meno fretta e più attenzione della prima lettura (in cui hai guardato solo il risultato finale), L'INTERA RISPOSTA: i passaggi li ho scritti tutti, devi solo leggerli!
@exprof ti assicuro che ho letto e provato a svolgere passo passo l'esercizio ma trovo difficoltà. Ad esempio mi sono messo e ho preso un'altra funzione simile e ho svolto derivata prima e seconda e ci sono riuscito (ti metto foto quá per mostrartelo) ma in questa funzione trovo molta difficoltà. È la presenza di quel quadrato al denominatore che mi mette difficoltà
@Riccardo18 assicuri il falso: quella difficoltà t'ho scritto come trattarla. Leggere bene vuol dire comprendere, non solo aver visto: questa è matematica, non una novella.
operazioni di supporto
-) n(x) = (x³+2x) ⇒ n'(x) = 3x²+2
-) d(x) = (x²-4)²*√(x²-1) ⇒ d'(x) = x(x²-4)(5x²-8)/√(x²-1)
-) d(x) = (x²-4)²*√(x²-1) ⇒ d²(x) = (x²-4)⁴(x²-1)
per cui
= - [(3x²+2)*(x²-4)²*√(x²-1) - (x³+2x)*x(x²-4)(5x²-8)/√(x²-1)] / (x²-4)⁴(x²-1) =
semplifichiamo (x²-4)
= - [(3x²+2)*(x²-4)*√(x²-1) - (x³+2x)*x(5x²-8)/√(x²-1)] / (x²-4)³(x²-1) =
eliminiamo il rapporto al numeratore
= - [(3x²+2)*(x²-4)*(x²-1) - (x³+2x)*x(5x²-8)] / (x²-4)³(x²-1)³/² =
un po' di algebra al numeratore
= (2x⁶+15x⁴-18x²-8) / (x²-4)³(x²-1)³/²
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Livello 3
@cmc ciao, prima di tutto ti ringrazio per avermi risposto. ho un dubbio, come hai ricavato x(x²-4)(5x²-8)/√(x²-1)? Vedo anche un (x^3 + 2x) e non capisco
nel capitolo operazioni di supporto compaiono i calcoli dei termini che mi permettono il calcolo della derivata di un rapporto. In particolare:
n(x) rappresenta in numeratore della derivata prima cioè (x³+2x) la cui derivata n'(x) = 3x²+2
d(n) rappresenta il denominatore della derivata prima e con d'(x) la sua derivata
NB. Non mi sono dimenticato del segno - ho preferito ommetterlo in questa fase per semplificare la scrittura. Noterai che nel primo rigo del calcolo è presente.
L'aprire un capitolo delle operazioni di supporto, capitolo che ritengo utile quando l'esercizio è calcoloso, mi permette di spezzare il problema in parti più semplici. E' la tecnica delle sub-routine che si usava nella programmazione.
@cmc facendo la derivata del denominatore (quindi la regola della derivata di un prodotto) faccio numerosi passaggi e non capisco come hai ottenuto questo d'(x) = x(x²-4)(5x²-8)/√(x²-1)
d(x) = (x²-4)²*√(x²-1)
Facciamo la derivata ricordando le leggi della derivata del prodotto e la derivata di composizione di funzioni.
d'(x) = [(x²-4)²]'*√(x²-1) + (x²-4)²*[√(x²-1)]' =
= 2*(x²-4)*2x*√(x²-1) + (x²-4)²*2x/2√(x²-1) =
= [4x(x²-4)*√(x²-1) + (x²-4)²*x/√(x²-1) =
= [4x(x²-4)*(x²-1) + (x²-4)²*x]/√(x²-1) =
= x(x²-4)*[4(x²-1) + (x²-4)²]/√(x²-1) =
= x(x²-4)(5x-8)/√(x²-1)