Come si calcola la derivabilità di questa funzione?
Come si calcola la derivabilità di questa funzione?
Si tratta di una funzione razionale intera (polinomiale) definita a tratti.
Le funzioni polinomiali intere sono continue e derivabili laddove definite, ma rimane in sospeso il punto di raccordo cioè x = 0.
Se la funzione per x = 0 non è continua allora non sarà neppure derivabile.
Se la funzione per x = 0 è continua allora per essere derivabile è necessario un teorema a riguardo.
I due limiti laterali sono eguali al valore assunto dalla funzione, quindi:
-) esiste il limite per x → 0 e vale 1.
-) La funzione nel punto x=0 è eguale al valore assunto dal limite;
La funzione è quindi continua in tutto ℝ.
nota: potevamo evitare di calcolare il limite destro vista la continuità del tratto 2x²+x+1.
.
Per dimostrare la derivabilità occorre calcolare il valore della derivata destra e della derivata sinistra.
Se i due valori saranno diversi allora la funzione non è derivabile.
Per calcolare le derivate laterali possiamo usare il metodo del rapporto incrementale oppure notare che le funzioni derivate dei singoli tratti sono funzioni continue.
$ f'(x) = \begin{cases} -2 &\text{ Se $ x \lt 0$}\\ 4x+1 &\text{ Se $ x \ge 0$} \end{cases} $
essendo continue
$ D^-(f(0)) = \displaystyle\lim_{x \to 0^-} -2 = -2 $
$ D^+(f(0)) = \displaystyle\lim_{x \to 0^+} 1 = 1 $
Sono diverse quindi la funzione f(x) non è derivabile nel punto x = 0.