Derivabilità

Si tratta di una funzione razionale intera (polinomiale) definita a tratti.

Le funzioni polinomiali intere sono continue e derivabili laddove definite, ma rimane in sospeso il punto di raccordo cioè x = 0.

Se la funzione per x = 0 non è continua allora non sarà neppure derivabile.

Se la funzione per x = 0 è continua allora per essere derivabile è necessario un teorema a riguardo.

• f(x) è una funzione continua anche per x = 0?
  • $ \displaystyle\lim_{x \to 0^-} -2x + 1 = 1$
  • $ \displaystyle\lim_{x \to 0^+} 2x^2+x + 1 = 1$
  • $ f(0) = 1

I due limiti laterali sono eguali al valore assunto dalla funzione, quindi:

-) esiste il limite per x → 0 e vale 1.

-) La funzione nel punto x=0 è eguale al valore assunto dal limite;

La funzione è quindi continua in tutto ℝ.

nota: potevamo evitare di calcolare il limite destro vista la continuità del tratto 2x²+x+1.

.

Per dimostrare la derivabilità occorre calcolare il valore della derivata destra e della derivata sinistra.

Se i due valori saranno diversi allora la funzione non è derivabile.

Per calcolare le derivate laterali possiamo usare il metodo del rapporto incrementale oppure notare che le funzioni derivate dei singoli tratti sono funzioni continue.

$ f'(x) = \begin{cases} -2 &\text{ Se $ x \lt 0$}\\ 4x+1 &\text{ Se $ x \ge 0$} \end{cases} $

essendo continue

$ D^-(f(0)) = \displaystyle\lim_{x \to 0^-} -2 = -2 $

$ D^+(f(0)) = \displaystyle\lim_{x \to 0^+} 1 = 1 $

Sono diverse quindi la funzione f(x) non è derivabile nel punto x = 0.