[Risolto] DERIVABILITÀ: REALTA E MODELLI

Correggo una minima svista del testo: nel ramo discendente si deve porre (x >= 12) come guardia e non semplicemente (x > 12) perché la struttura fisica è continua e la definizione analitica che la modella deve (appunto!) esserne un modello ed essere continua anch'essa.
La svista è tuttavia giustificabile in quanto l'esercizio (non ostante l'ambizioso titolo REALTA' E MODELLI, peraltro ortograficamente errato in quanto la grammatica italiana non contempla diacritici con le maiuscole) non è stato scritto da ingegneri consci della realtà da modellare; è stato scritto da matematici che, giustamente, sanno che una distinzione di casi dev'essere una partizione del dominio e quindi non ammettere punti comuni fra i casi.
E la realtà citata nel titolo? Ma sono orpelli editoriali, chi se n'impippa, noi siamo matematici!
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* f(x) = (0 <= x <= 12) & (y = (a*x + b)/(c*x + 3)) oppure (x >= 12) & (y = 2^(d - x)/5)
* f'(x) = (0 <= x <= 12) & (y' = (3*a - b*c)/(c*x + 3)^2) oppure (x >= 12) & (y' = (ln(1/2)/5)*2^(d - x))
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* f(0) = (a*0 + b)/(c*0 + 3) = 0
* f'(0) = (3*a - b*c)/(c*0 + 3)^2 = 16/3
* ((a*0 + b)/(c*0 + 3) = 0) & ((3*a - b*c)/(c*0 + 3)^2 = 16/3) ≡
≡ (a = 16) & (b = 0)
* f(x) = (0 <= x <= 12) & (y = 16*x/(c*x + 3)) oppure (x >= 12) & (y = 2^(d - x)/5)
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* f(12) = (0 <= 12 <= 12) & (y = 16*12/(c*12 + 3)) oppure (12 >= 12) & (y = 2^(d - 12)/5) ≡
≡ f(12) = y = 64/(4*c + 1)
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* y = 2^(d - 12)/5 = 64/(4*c + 1) ≡
≡ 2^(d - 12) = 64*5/(4*c + 1) ≡
≡ log(2, 2^(d - 12)) = log(2, 64*5/(4*c + 1)) = log(2, 64) + log(2, 5/(4*c + 1)) ≡
≡ d - 12 = 6 + log(2, 5/(4*c + 1)) ≡
≡ d = 18 + log(2, 5/(4*c + 1))
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Dal momento che la Città dello Sport, sia pure incompleta, è lì e si vede bene uscendo dalla A1 il precedente sistema deve risultare determinato; ciò comporta la necessità di
* log(2, 5/(4*c + 1)) = 0 ≡ c = 1
il che completa la determinazione di f(x).
Con
* (a = 16) & (b = 0) & (c = 1) & (d = 18)
si ha
* f(x) = (0 <= x <= 12) & (y = 16*x/(x + 3)) oppure (x >= 12) & (y = 2^(18 - x)/5)
* f'(x) = (0 <= x <= 12) & (y' = 48/(x + 3)^2) oppure (x >= 12) & (y' = (ln(1/2)/5)*2^(18 - x))
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Ultimo punto: f'(12)
* f'(12) = (0 <= 12 <= 12) & (y' = 48/(12 + 3)^2 = 16/75 = 0.21(3) > 0)
oppure f'(12) = (12 >= 12) & (y' = (ln(1/2)/5)*2^(18 - 12) = - (64/5)*ln(2) ~= - 8.87 < 0)
le pendenze diverse dei due rami del profilo implicano la non derivabilità della funzione che lo modella.

a)

il passaggio per l'origine comporta

(a*0 + b)/(c * 0 + 3) = 0

b/3 = 0

b = 0

La derivata di ax/(cx+3) é

[a(cx+3) - ax*c]/(cx + 3)^2

e per x = 0

3a/3^2 = 16/3

a = 16

16x/(cx + 3) vale 64/5 per x = 12

192/(12 c + 3) = 64/5

3/(12c + 3) = 1/5

4c + 1 = 5

4c = 4

c = 1

Il limite destro per x-> 12 é

1/5 * 2^(d - 12) = 64/5

2^(d - 12) = 2^6

d - 12 = 6

d = 18

Così

y =

{ 16x/(x + 3)    0 <= x <= 12

{ 1/5*2^(18 - x)     x > 12

La derivata é

y' = 16 d/dx ( 1 - 3/(x + 3))

y' = 16 * (0 + 3/(x+3)^2 )

16*3/15^2 = 16/75 a sinistra

y' = 1/5 * e^[ ln 2 (18 - x) ] * (- ln 2) 

y' = - ln(2)/5 * 2^(18 - x) per x = 12 a destra

y' = - ln 2/5 * 64

i due limiti esistono finiti ma non sono uguali

la funzione non é derivabile per x = 12 essendo presente un punto angoloso.