De l'hôpital

Applicando il teorema di De L'Hôpital - Bernoulli:

\[\lim_{x \to 0^{-}} \frac{e^{-\frac{1}{x}}}{\ln{|x|}} \overset{H}{=} \lim_{x \to 0^{-}} \frac{e^{-\frac{1}{x}} \cdot \frac{1}{x^2}}{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{e^{-\frac{1}{x}}}{x} = -\infty\,.\]

Nel caso in cui $x \to 0^{+}\,,$ si ha

\[\lim_{x \to 0^{+}} \frac{e^{-\frac{1}{x}}}{\ln{|x|}} = \frac{0}{-\infty} = 0\,.\]

Si fa il limite del rapporto  delle derivate di numeratore e denominatore. Il limite è lo stesso del limite del rapporto delle due funzioni.

limx→x0- [e^(-1/x) / (ln|x|);

 f(x) = e^(-1/x);

derivata del numeratore:

f'(x) = e^-(x^-1) * [-(- 1 * x^-2)] = e^(-1/x) * (1/x^2);

g(x) = ln|x|

derivata del denominatore:

g'(x) = 1/x;

limx→x0- [e^(-1/x) * (1/x^2)] / [1/x];

limx→x0- [e^(-1/x) * (1/x^2)] * [x] =

= limx→x0- [e^(-1/x) * (1/x)]; il numeratore è positivo tende a + ∞;

il denominatore tende a 0- da sinistra, è negativo quindi:

 +∞ / 0- = - ∞ ;

Se x tende a zero da destra, cambia il limite: 

limx→x0- [e^(-1/x) / (ln|x|)];

e^(- 1/x)  diventa e ^(- ∞) = 0;

ln|x| per x che  tende a 0+ da destra, va a - ∞;

0 / (- ∞) = 0.

Ciao  @tiz