[Risolto] Data la seguente funzione determinare eventuali asintoti verticali orizzontali o obliqui

Data la seguente funzione determinare eventuali asintoti verticali orizzontali o obliqui  :

$F(x)=\frac{4x^2−3x−1}{3x−3}$

Soluzione:

prima di tutto va sempre svolto il dominio. Dobbiamo imporre che il denominatore sia non nullo, da cui

$ 3x -3 \neq 0 \rightarrow 3x \neq 3 \rightarrow x \neq 1$

quindi il dominio è: $ (-\infty; 1) \cup (1; + \infty)$

a mio parere la scrittura del dominio come intervallo è utilissimo per capire a dove fare il miti per studiare gli asintoti!

Cominciamo con quelli verticali.

I candidati ad essere asintoti verticali sono i punti eliminati dal dominio, quindi nel nostro caso $x = 1$. Facciamo il limite:

$\lim_{x \rightarrow 1^{\pm}} \frac{4x^2−3x−1}{3x−3} = \lim_{x \rightarrow 1^{\pm}} \frac{4x^2−3x−1}{3(x-1)}  \lim_{x \rightarrow 1^{\pm}} \frac{4\cdot 1^2−3\cdot 1−1}{3(1-1)} = \frac00$

quindi abbiamo una forma di indecisione $\frac00$. Per risolverla scomponiamo anche il numeratore, sempre all'interno dell'operazione di limite e vedremo che, sia sopra che sotto, troveremo lo stesso fattore che potremo semplificare!

$\lim_{x \rightarrow 1^{\pm}} \frac{(x-1)(4x+1)}{3(x-1)}  = \lim_{x \rightarrow 1^{\pm}} \frac{4x+1}{3} = \lim_{x \rightarrow 1^{\pm}} \frac{4 \cdot 1}{3}  = \frac43$

quindi questo non è un asintoto verticale, perché il risultato non è un infinito!

Cerchiamo l'asintoto orizzontale. Per fare questo dobbiamo svolgere i limiti per $x$ che tende agli infiniti presenti nel dominio. In questo caso abbiamo sia $+\infty$ che $-\infty$.

Svolgiamo $x \rightarrow + \infty$. Questo verrà sicuramente $\frac{\infty}{\infty}$, quindi raccogliamo subito il grado massimo:

$\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{4x^2−3x−1}{3x−3} = \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{x^2(4-\frac{3}{x}-\frac{1}{x}}{x(3-\frac{3}{x})}   \approx \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{4x^2}{3x} \approx \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac43 x = +\infty $

Analogo verrà anche $x \rightarrow - \infty$ (il risultato verrà però $-\infty$).

Non abbiamo quindi asintoto orizzontale. 

Proviamo l'obliquo. 

Per trovare il coefficiente angolare dell'asintoto obliquo dobbiamo calcolare

$lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{F(x)}{x} =  lim_{x \rightarrow +\infty}F(x) \cdot \frac{1}{x}$

anche in questo caso dovremo raccogliere il grado massimo, quindi salteremo un po' di passaggi che sono uguali a quelli già fatti:

$\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{4x^2−3x−1}{3x−3}\cdot \frac{1}{x} = \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{x^2(4-\frac{3}{x}-\frac{1}{x}}{x(3-\frac{3}{x}} \cdot \frac{1}{x}  \approx \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{4x^2}{3x}\cdot \frac{1}{x} \approx \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{4x^2}{3x^2}= \frac43$

e lo stesso risultato si avrà con $x \rightarrow - \infty$.

Allora il coefficiente angolare dell'asintoto obliquo è $ m = \frac43$.

Calcoliamo invece la quota:

$ q = \lim_{x \rightarrow + \infty} [ F(x) - m\cdot x ] =\lim_{x \rightarrow + \infty} [ \frac{4x^2−3x−1}{3(x-1)} - \frac43 \cdot x ] =$

$\lim_{x \rightarrow + \infty}  \frac{4x^2−3x−1 - 4 x(x-1)}{3(x−1)} = \lim_{x \rightarrow + \infty} \frac{4x^2−3x−1-4x^2+4x}{3(x-1)} =$

$\lim_{x \rightarrow + \infty} \frac{x-1}{3(x-1)} = \lim_{x \rightarrow + \infty} \frac13 = \frac13$

Quindi l'asintoto obliquo è

$y = \frac43 x + \frac13 $

Dal dominio devi studiare i limiti in 1+,1- +e-infinito.

Come prima cosa puoi osservare che scomponendo numeratore e denominatore ottieni f(x)=(x-1)(4x+1)/3(x-1).

Lo studio dei limiti è dunque semplificato al limite di y=(4x+1)/3 (retta per x diverso da 1)

Da cui lim x-->1+ =5/3 come lim x-->1-

lim x-->+inf= +inf

lim x-->-inf=-inf

Posso avere asintoti obliqui. Per trovare m calcolo lim x-->inf f(x)/x =lim x-->inf (4x+1)/(3x) =4/3

Calcolo q=lim x-->inf f(x)-mx= lim x-->inf (4x+1)/3 -4/3x=1/3

Da cui y=4/3x +1/3 è il tuo asintoto obliquo (nota che è la retta stessa, ovviamente)