Danza di fate - ripasso di probabilità

Purtroppo non sono familiare con i concetti di deviazione standard e distribuzione però

b)  Secondo me converrebbe calcolare la probabilità direttamente, nota come se anche una sola delle nostre bellissime fatine dovesse prendere un completo diverso dal suo, allora l'evento ricercato si è verificato in una sola volta, quindi ad esempio la probabilità che Azzurra (scegliendo per prima) scelga un completo diverso dal suo è $\frac{3}{4}$, mentre se dovesse scegliere il proprio completo allora la probabilità che Bianca non scelga il proprio completo sarebbe $\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3}= \frac{1}{6}$ se anche Bianca dovesse scegliere il suo completo, allora la probabilità che Iris non lo faccia sarà $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{24}$, a quel punto è garantito che Rosa non sceglierà il suo completo. In definitiva la probabilità che nessuna delle fatine scelga il proprio completo è $\frac{3}{4} + \frac{1}{6} +\frac{1}{24}=\frac{23}{24}$, la probabilità che questo evento si verifichi esattamente sette volte è $P=(\frac{23}{24})^7 \approx 74\%$.

c1)

Per calcolare questa probabilità basta notare che perché si verifichi l'evento descritto esattamente 4 o esattamente 2 delle nostre fatine devono indossare il proprio completo, perché con 3 completi sbagliati, anche il quarto completo è sbagliato, mentre con uno almeno un secondo sarà sbagliato (quello della fatina a cui è stato sottratto il costume), quindi le probabilità sono rispettivamente: $\frac{1}{24}$ e $\frac{1}{4}$, la seconda probabilità l'ho voluta immaginare come l'equivalente di calcolare la probabilità che in una sequenza di 4 numeri esattamente 2 di questi siano nel posto corretto, i numeri 1,2,3,4 possono essere disposti in $4!$ modi, e posso formare $\binom{4}{2}=6$ combinazioni di 2 numeri, la probabilità che esattamente una combinazione di due numeri sia ordinata correttamente (ad ex. 1 nel primo posto e 4 nel quarto posto) è $\frac{1}{24}$, moltiplicando per 6 la probabilità è $\frac{1}{4}$, quindi la probabilità complessiva è $\frac{1}{24}+\frac{1}{4}=\frac{7}{24}$, la probabilità cercata in particolare è allora $P_1=(\frac{7}{24})^7 \approx 0.018\%$

c2) Perché il gioco sia equo deve accadere che la vincita $Q$ sia $Q=\frac{S}{P_1} \approx \frac{62.50}{0.018\%} \approx 347222.22$.