Danza di fate - ripasso di probabilità

Purtroppo non sono familiare con i concetti di deviazione standard e distribuzione però

b)  Secondo me converrebbe calcolare la probabilità direttamente, nota come se anche una sola delle nostre bellissime fatine dovesse prendere un completo diverso dal suo, allora l'evento ricercato si è verificato in una sola volta, quindi ad esempio la probabilità che Azzurra (scegliendo per prima) scelga un completo diverso dal suo è $\frac{3}{4}$, mentre se dovesse scegliere il proprio completo allora la probabilità che Bianca non scelga il proprio completo sarebbe $\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3}= \frac{1}{6}$ se anche Bianca dovesse scegliere il suo completo, allora la probabilità che Iris non lo faccia sarà $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{24}$, a quel punto è garantito che Rosa non sceglierà il suo completo. In definitiva la probabilità che nessuna delle fatine scelga il proprio completo è $\frac{3}{4} + \frac{1}{6} +\frac{1}{24}=\frac{23}{24}$, la probabilità che questo evento si verifichi esattamente sette volte è $P=(\frac{23}{24})^7 \approx 74\%$.

c1)

Per calcolare questa probabilità basta notare che perché si verifichi l'evento descritto calcoliamo la probabilità che esattamente 4, poi 3, poi 2, poi solo una delle nostre fatine indossino il completo giusto, la probabilità che tutte e 4 le fatine indossino il completo giusto è $\frac{1}{24}$ perché solo una tra le $4!$ permutazioni dei loro completi è corretta, con 3 corretti il calcolo si può interpretare come calcolare il numero di permutazioni diverse di 2 lettere la cui una si ripete 3 volte (ovvero gli anagrammi di $SSSG$, dove S sta per sbagliato, G sta per giusto) che sono esattamente 4, dato che l'unica cosa che conta è spostare G in ognuno dei posti, mentre con esattamente due completi corretti basta calcolare il numero di anagrammi di $SSGG$, che sono esattamente $\frac{4!}{2! \cdot 2!}= 6$, e con un solo completo giusto sono ancora 4, perché la situazione corrisponde a calcolare gli anagrammi di $GGGS$, quindi la probabilità in totale è $\frac{1}{24} +\frac{4}{24}+\frac{6}{24}+\frac{4}{24}=\frac{15}{24}=\frac{5}{8}$ e la probabilità che questo evento si verifichi 7 volte è quindi $P_1= (\frac{5}{8})^7 \approx 3.73\%$

c2) Perché il gioco sia equo deve accadere che la vincita $Q$ sia $Q=\frac{S}{P_1} \approx \frac{62.50}{3.73\%} \approx 1677.72$.