a. useremo l'equazione del fascio di parabole, con asse di simmetria parallelo all'asse delle ordinate, aventi in comune il vertice $V(V_x, V_y)$ cioè
$ y = V_y +k(x-V_x)^2$
a.1 equazioni $\gamma_1, \gamma_2$
⊳ $ \gamma_1$ ha vertice V(2,-1) e passa per T(4,1)
- fascio parabole $Γ(k): y = -1 + k(x-2)^2$
- parabola che passa per T(4,1) ⇒ 1 = -1 + 4k ⇒ k = 1/2
- L'equazione della parabola è quindi $\gamma_1: y = -1 + \frac{1}{2}(x-2)^2$
- $\gamma_1: y = \frac{x^2}{2} -2x +1 $
.
⊳ $ \gamma_2$ ha vertice V(3,0) e passa per T(4,1)
- fascio parabole $Γ(k): y = k(x-3)^2$
- parabola che passa per T(4,1) ⇒ 1 = k
- L'equazione della parabola è quindi $\gamma_2: y = k(x-3)^2$
- $\gamma_2: y = x^2-6x+9 $
a.2 Equazione retta tangente
- Fascio rette passanti per T(4,1). ⇒ y -1 = m(x - 4)
- Intersezione fascio rette con una parabola (scegliamo la più semplice)
$ \left \{\begin{aligned} y &= x^2-6x+9 \\ y &= m(x - 4) +1 \end{aligned} \right.$
Per confronto si ottiene un'equazione di secondo grado in x
$ x^2 - (m+6)x +8+4m = 0$
il cui discriminante Δ = (m-2)²
Imponiamo la tangenza ponendo il discriminante eguale a zero per cui m = 2
L'equazione della retta tangente è così y = 2x - 7
.
b.
- Coordinate del punto A. Intersechiamo la $\gamma_2$ con l'equazione dell'asse delle y (x = 0). Così ricaviamo A(0, 9)
- Equazione della retta passante per i due punti A e T. ⇒ y = -2x + 9
- Calcoliamo la distanza tra i punti A e T. Applicando Pitagora cioè la formula della distanza tra due punti d(A,T) = √((xA-xT)²+(yA-yT)²) si ottiene d(A,T) = 4√5
- Un generico punto C che giace sull'arco di parabola AT avrà coordinate $C(x_0, (x_0 -3)^2)$ con $x_0∈[0,4]$
- Equazione retta perpendicolare alla retta AT passante per $C(x_0, (x_0 -3)^2)$
-
- $y - (x_0-3)^2 = \frac{x}{2} - x_0$
- dalla formula dell'area del triangolo ricaviamo l'altezza h cioè la distanza che il punto C deve avere dalla retta AT per soddisfare il requisito. $h = \frac{2 \cdot S}{d(A,T)}$ da cui $h = \frac {3√5}{5}$
- Consideriamo il fascio di circonferenza di centro C e raggio h e scegliamo tra loro quella tangente alla retta AT.
-
- $(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = 9/5$
- $(x-x_0)^2 + (y-(x_0 -3^2)^2 = 9/5$
- solito sistema retta AT con il fascio di circonferenze Γ(x₀) si ottiene un'equazione di secondo grado nella variabile x₀ il cui discriminante vale
- $ Δ = -x_0^4 +8x_0^3-16x_0+9$
- Imponendo la tangenza, cioè Δ si ottengono 4 soluzioni:
- x_0 = 1 ⇒ y = 4
- x_0 = 3 ⇒ y = 3
- x_0 = 2 - √7. da scartare essendo fuori dall'intervallo [0,4] (vedi precedente definizione di P)
- x_0 = 2 + √7. da scartare essendo fuori dall'intervallo [0,4] (vedi precedente definizione di P)
I due punti C coerenti con le ipotesi hanno coordinate.
C(1,4) e C(3,0)
.
c. Equazioni del fascio di parabole generate da $\gamma_1$ e da $\gamma_2$
$ Γ(k): y-\frac{x^2}{2}+2x-1 + k(y-x^2+6x-9) = 0$
$ Γ(k): (1+k)y = (\frac{1}{2}+k)x^2 - 2(1+3k)x +1+9k$
$ Γ(k): y = \frac{1+2k}{2(1+k)}x^2 - \frac{2(1+3k)}{1+k} x + \frac{1+9k}{1+k}$ per k ≠ -1
Calcoliamo le coordinate del vertice della generica parabola
$ V_x = -\frac{b}{2a} = \frac {2(1+3k)}{1+k}$
$ V_y = - \frac{b^2-4ac}{4a} =$ ... qualche conticino ... $ = -\frac{1}{1+2k}$
Il luogo $V_y = f(V_x)$.
Dimostriamo che
$V_y = V_x - 3$ cioè
$ -\frac{1}{1+2k} = \frac {2(1+3k)}{1+k} - 3$
un po' di calcoli e semplificazioni e si verifica l'identità.
Quindi
$V_y = V_x - 3$
