Vi chiedo la cortesia di verificare i passaggi che ho effettuato, in maniera intuitiva più che altro, per le soluzioni (corrette) dei seguenti tre esercizi. Ringrazio in anticipo
Vi chiedo la cortesia di verificare i passaggi che ho effettuato, in maniera intuitiva più che altro, per le soluzioni (corrette) dei seguenti tre esercizi. Ringrazio in anticipo
432
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Livello 1
1)
Può essere giusta o sbagliata. Dipende se nel testo è specificato: a>0
Se non è specificato a>0 l'ultimo passaggio è sbagliato. Infatti hai posto il segno di uguaglianza a due quantità di cui la prima sempre positiva (nell'insieme di definizione in R della radice quadrata) mentre la seconda positiva o negativa a seconda del valore di a.
Se quindi nel testo non è specificato a>0, devi scrivere:
(1/|a|)*radice [1/(2b)]
2)
Non ho compreso esattamente i passaggi intermedi (avrei applicato subito la proprietà delle potenze, nello specifico potenza di potenza)
(x²) ^ (-2/3) = x^ ( - 4/3) = radice [3, (1/x)⁴]
Corretto il risultato finale.
3) I passaggi intermedi sono sbagliati
(1/x)^(3/2) ≠ radice [3, (1/x²)]
Applichi le proprietà delle potenze e scrivi:
x^( - 2/3) = (1/x)^(2/3) = radice [3, 1/x²]
OK la conclusione
76643
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Genius II
@stefanopescetto grazie Stefano, infatti non mi convincevano molto i passaggi che ho fatto... mi dice semplicemente "Trasforma in radicali le seguenti potenze. Considera positive le basi variabili", ne deduco che deve essere a > 0
Sono il solito ritardatario guastafeste.
Vedo ora la domanda pubblicata dodici ore addietro, quindi comprensiva della risposta di @StefanoPescetto e successivo commento dell'autore @SalvoNardyn e, da buon pignolo, mi dichiaro non d'accordo e vi espongo il mio punto di vista.
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Sulle due potenze con denominatore dispari all'esponente ho poco da dire.
* (x^2)^(- 2/3) = 1/(x^4)^(1/3) >= 0 per ogni x, ma
* (1/x)*1/(x)^(1/3) < 0 per x < 0, quindi non vedo l'equivalenza.
Vedi il paragrafo "Solutions" al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%28x%5E2%29%5E%28-+2%2F3%29%3C0
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* (x^(- 2))^(1/3) = 1/(x^2)^(1/3) senza passaggi intermedii: basta riscrivere la base.
http://www.wolframalpha.com/input?i=simplify+%28x%5E%28-+2%29%29%5E%281%2F3%29
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Invece sulle potenze con denominatore pari all'esponente qualcosa da dire ce l'ho.
In generale, se la base b è reale allora vale l'equivalenza √(b^2) = |b|.
E, per le potenze di forma "b^(m/(2*k))", vale
* b^(m/(2*k)) = (b^m)^(1/(2*k)) = √((b^m)^(1/k))
e, se nella fattorizzazione della nuova base B = b^m ci sono fattori primi con esponente pari, questi si estraggono dalla radice, con esponente metà, SOLO in valore assoluto (esplicito).
Nel caso particolare contesto l'interpretazione "deduco che deve essere a > 0" in quanto la specificazione "Considera positive le basi variabili" non implica affatto di poter considerare positivi i singoli fattori primi delle basi variabili.
Nel caso in esame
* (2*b*a^2)^(- 1/2) = 1/√(2*b*a^2) = 1/(|a|*√(2*b))
in quanto la base variabile è "2*b*a^2" e non "a".
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Saluti, scuse e auguri per i prossimi esercizi.
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Genius I
Quindi:
base positive implica 2ba²>0 - - > b>0
Portando fuori il fattore 1/a² dalla radice devo SEMPRE scrivere 1/|a|
Ho compreso correttamente l'osservazione? Grazie. Buona giornata
@StefanoPescetto
Ti ringrazio dell'attenzione e cerco di chiarire meglio la mia osservazione, sui due punti che citi.
"Portando fuori il fattore 1/a² dalla radice devo SEMPRE scrivere 1/|a|"
Quello che intendevo è
* (2*b*a^2)^(- 1/2) = 1/√(2*b*a^2) = 1/(|a|*√(2*b))
* (2*b*a^2)^(- 1/2) & (a > 0) = 1/√(2*b*a^2) & (a > 0) = 1/(a*√(2*b))
cioè: per "saltare il passaggio" sarebbe buona norma portarsi dietro la condizione (o premetterla).
"base positive implica 2ba²>0 - - > b>0"
No, non solo implica: equivale! "base" è tutto il primo operando dell'esponenziazione, cioè
* base variabile positiva ≡ 2*b*a^2 > 0 → b > 0
Buona giornata anche a te.
@exprof io invece ho l'onore di ringraziarvi entrambi... basandomi su quanto mi aveva fatto notare già Stefano, ho corretto la soluzione mettendo a come valore assoluto, mi sembrava più corretto in linea di principio, come giustamente hai esaurientemente spiegato tu, fregandomene della soluzione riportata dal manuale. A buon rendere prof e grazie per l'incoraggiamento.