da grafico della funzione a quello della derivata

"Qualcuno mi potrebbe aiutare a capire sto esercizio?"
Pensavo d'averlo già fatto ieri al link
http://www.sosmatematica.it/forum/postid/77339/
dove la tua successiva richiesta
http://www.sosmatematica.it/forum/postid/77350/
non parlava affatto di "aiutare a capire sto esercizio", ma solo di una consulenza privata; se m'avessi scritto cosa e come non avevo espresso in modo che tu capissi t'avrei scritto lì una seconda risposta più dettagliata: poco male, te la scrivo qui!
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"Il problema mio è che so riconoscere le informazioni ma non so come rappresentarle"
Non so quanto ti possa consolare, ma non è un problema solo tuo: è di tutti i principianti.
Studiare "bene" (con calma e ordine) serve ad impadronirsi delle informazioni, a ritenerle, a comprenderne significati e reciproche relazioni, a riconoscerle incontrandole in altri contesti; "come rappresentarle" o, comunque, come elaborarle ai propri scopi non è invece un'abilità che si acquisti studiando. S'impara ad elaborare e applicare ciò che si è studiato solo con la pratica: analizzare e risolvere un problema sui polinomi è un'attività di ricerca per le prime tre o quattro volte; dopo una decina è solo un esercizio; dopo una cinquantina la risoluzione ti esce dal subcosciente senza nemmeno pensarci. E' come nuotare o andare in bicicletta, perciò gl'insegnanti raccomandano di svolgere quanti più esercizi possibile: per smettere d'essere principiante.
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"da grafico della funzione a quello della derivata"
La funzione rappresentata dal grafico in figura 213 è un classico esempio di definizione per distinzione di casi che partizionino l'asse reale della variabile indipendente.
Prima di poter scriverla, derivarla e graficarne la derivata occorre però ricavare le espressioni dei casi graficati alla luce della convenzione: pallino vuoto/pallino pieno.
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a) - 4 <= x <= 0 (pallino pieno agli estremi)
la retta x/(- 4) + y/2 = 1 ≡ y = (x + 4)/2
* caso (- 4 <= x <= 0) & (y = (x + 4)/2)
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b) 0 < x <= 3 (pallino vuoto a sinistra)
la parabola y = a*(x - 1)^2 - 1 per (2, 0); 0 = a*(2 - 1) - 1 ≡ a = 1
* caso (0 < x <= 3) & (y = (x - 2)*x)
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c) 3 <= x <= 5 (pallino pieno agli estremi)
la retta y = (3 - 2)*3 ≡ y = 3
* caso (3 <= x <= 5) & (y = 3)
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d) 5 <= x <= 6 (pallino pieno agli estremi)
Curva tale da essere tangente a x = 5 in T1(5, 3) e a y = 0 in T2(6, 0).
Solo per il piacere di fissare le idee scelgo il quarto di Sud-Ovest dell'ellisse Γ centrata in C(6, 3) e di semiassi (a, b) = (1, 3): Γ ≡ ((x - 6)/1)^2 + ((y - 3)/3)^2 = 1
* caso (5 <= x <= 6) & (y <= 3) & ((x - 6)^2 + ((y - 3)/3)^2 = 1)
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* f(x) = y = (- 4 <= x <= 0) & ((x + 4)/2) oppure (0 < x <= 3) & ((x - 2)*x) oppure (3 <= x <= 5) & (3) oppure (5 <= x <= 6) & (3*(1 - √(- x^2 + 12*x - 35)))
VERIFICA
http://www.wolframalpha.com/input?i=piecewise%5B%7B%7B%28x%2B4%29%2F2%2C-4%3C%3Dx%3C%3D0%7D%2C%7B%28x-2%29*x%2C0%3Cx%3C%3D3%7D%2C%7B3%2C3%3C%3Dx%3C%3D5%7D%2C%7B3*%281-%E2%88%9A%28-x%5E2%2B12*x-35%29%29%2C5%3C%3Dx%3C%3D6%7D%7D%5D
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DERIVATA
* f'(x) =
= (x < - 4) & (0)
oppure (- 4 <= x <= 0) & (1/2)
oppure (0 < x <= 3) & (2*(x - 1))
oppure (3 <= x <= 5) & (0)
oppure (5 < x < 6) & (3*(x - 6)/√(- x^2 + 12*x - 35))
oppure (x >= 6) & (0)
GRAFICI
Generale
http://www.wolframalpha.com/input?i=piecewise%5B%7B%7B0%2Cx%3C-4%7D%2C%7B1%2F2%2C-4%3Cx%3C0%7D%2C%7B2*%28x-1%29%2C0%3Cx%3C3%7D%2C%7B0%2C3%3Cx%3C5%7D%2C%7B3*%28x-6%29%2F%E2%88%9A%28-x%5E2%2B12*x-35%29%2C5%3Cx%3C6%7D%2C%7B0%2Cx%3E%3D6%7D%7D%5D
Particolare
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5B%28x-5%29*y%3D0%2Cy%3D3*%28x-6%29%2F%E2%88%9A%28-x%5E2%2B12*x-35%29%5D

Ciao. 

Vedi grafici: in rosso la funzione a tratti assegnata, in verde la sua derivata (a tratti)

La funzione definita a tratti è:

y=

{1/2·x + 2 per -4 ≤ x < 0

{x^2 - 2·x per 0 ≤ x < 3

{3  per 3 ≤ x ≤ 5

{- 3·√(- x^2 + 12·x - 35) + 3 per 5 < x ≤ 6

(l'ultimo tratto l'ho dedotto da un quarto di ellisse con centro in (6,3))

........................................

nel primo tratto y = y1 per x di [-4,0]

dy/dx]0- = 1/2

nel secondo tratto y = y2  per x di [0,3]

dy/dx]0+ = -2

dy/dx]3- = 4

nel terzo tratto y = y3 = 3  per x di [3, 5]

dy/dx]3+ = 0

dy/dx]5- = 0

... del quarto tratto sappiamo solo la tangente a destra di 5 , cioè in x = 5+ {dy/dx]5+ = lim (x-->5+ ) deltay/deltax = - oo } e la tangente in x = 6 {dy/dx]6 = lim (x-->6) deltay/deltax = 0}

p.s.

la funzione y definita dalla traccia non è una funzione(!) nel senso di "applicazione univoca" visto che in x=0  ha due valori!( cioè è ivi polidroma)