[Risolto] L'ellisse traslata ha i fuochi su un asse parallelo all'asse x

"ellisse traslata" vuol dire equazione di forma
* Γ ≡ ((x - α)/a)^2 + ((y - β)/b)^2 = 1
con assi sulle rette "x = α" e "y = β", centro C(α, β), semiassi (a, b) positivi.
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"fuochi su un asse parallelo all'asse x" vuol dire a > b > 0.
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"tangente alla retta r di equazione x = 8" vuol dire a = |α - 8|.
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"taglia l'asse x nei punti D(4; 0) ed E(6; 0)" vuol dire
* (y = 0) & (((x - α)/a)^2 + ((y - β)/b)^2 = 1) ≡
≡ D(α - (a/b)*√(b^2 - β^2), 0) oppure E(α + (a/b)*√(b^2 - β^2), 0)
cioè
* (α - (a/b)*√(b^2 - β^2) = 4) & (α + (a/b)*√(b^2 - β^2) = 6)
e poiché
* E - D = (2, 0) = (2*(a/b)*√(b^2 - β^2), 0) ≡ (a/b)*√(b^2 - β^2) = 1
si ha
* (α - 1 = 4) & (α + 1 = 6) ≡ α = 5
da cui
* a = |α - 8| = 3
* 3 > b > 0
* √(b^2 - β^2) = b/3 ≡ β^2 = (8/9)*b^2
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"passa per il punto P(6; 4)" vuol dire
* ((6 - 5)/3)^2 + ((4 - β)/b)^2 = 1 ≡ ((4 - β)/b)^2 = 8/9
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Dalle ultime due si ha
* (((4 - β)/b)^2 = 8/9) & (β^2 = (8/9)*b^2) & (b > 0) ≡
≡ (b = 3/√2) & (β = 2)
e quindi
* Γ ≡ ((x - 5)/3)^2 + ((y - 2)/(3/√2))^2 = 1 ≡
≡ x^2 - 10*x + 2*y^2 - 8*y + 24 = 0
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a) "Trova le coordinate del centro di simmetria": C(α, β) = (5, 2)
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b) "Trova i vertici e l'eccentricità"
Da C(5, 2) si hanno i vertici (5 ± a, 2) e (5, 2 ± b) cioè
* V1(2, 2), V2(5, 2 - 3/√2), V3(8, 2), V4(5, 2 + 3/√2)
L'eccentricità dell'ellisse è il rapporto tra la semidistanza focale "c" e il semiasse maggiore
* e = c/a = √(a^2 - b^2)/a = √(1 - (b/a)^2) = √(1 - ((3/√2)/3)^2) = 1/√2
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c) "Trova le tangenti in E(6, 0) e in P(6, 4)"
Poiché la retta polare p del polo (u, v) rispetto alla conica Γ, se questo è su Γ, le è ivi tangente allora la tangente si trova come p, applicando gli sdoppiamenti alla forma normale canonica
* Γ ≡ x^2 - 10*x + 2*y^2 - 8*y + 24 = 0
e ottenendo
* p ≡ x*u - 10*(x + u)/2 + 2*y*v - 8*(y + v)/2 + 24 = 0 ≡
≡ (u - 5)*x + 2*(v - 2)*y - (5*u + 4*(v - 6)) = 0
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Per E(6, 0)
* t1 ≡ (6 - 5)*x + 2*(0 - 2)*y - (5*6 + 4*(0 - 6)) = 0 ≡
≡ y = (x - 6)/4
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Per P(6, 4)
* t2 ≡ (6 - 5)*x + 2*(4 - 2)*y - (5*6 + 4*(4 - 6)) = 0 ≡
≡ y = (22 - x)/4
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Vedi il grafico e il paragrafo "Solutions" al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5Bx%5E2-10*x--2*y%5E2-8*y--24%3D0%2C%28%28x-6%29%2F4-y%29%28%2822-x%29%2F4-y%29%3D0%5D
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d) Area S = h*(a + b)/2 del trapezio di altezza h e media delle basi (a + b)/2
delimitato
* dall'asse y (x = 0) e dalle rette r (x = 8), t1, t2 (2 - y ± (x - 14)/4 = 0)
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L'altezza è ovviamente l'ampiezza otto della striscia.
La media delle basi è la distanza fra le intersezioni di
* (x = (8 + 0)/2) & (((x - 6)/4 - y)*((22 - x)/4 - y) = 0) ≡
≡ (4, - 1/2) oppure (4, 9/2)
da cui
* (a + b)/2 = 9/2 - (- 1/2) = 5
S = h*(a + b)/2 = 40