Considera la famiglia di funzioni $f(x)=\frac{a x^2+b}{x+3}$, con $a, b \in R$. a. Determina i valori dei parametri $a$ e $b$ in modo che il grafico di $f(x)$ sia tangente alla retta di equazione $7 x-5 y-9=0$ nel suo punto di ascissa $x=2$. b. Verifica che la funzione ottenuta ha esattamente due punti stazionari. [a) $a=2, b=-3]$
Ormai non te ne importerà più, ma io sono immobilizzato e qualcosa devo pur fare per passare il tempo, ti mostro la mia procedura risolutiva. ----------------------------- La retta * 7*x - 5*y - 9 = 0 ≡ y = (7*x - 9)/5 ha * pendenza m = 7/5 * ordinata y(2) = 1 --------------- A) Determina i valori dei parametri ... Con a e b ∈ R, nel punto di tangenza T(2, 1) la funzione * f(x) = y = (a*x^2 + b)/(x + 3) deve * passare per T * con pendenza m = 7/5 cioè passare per T ≡ 1 = (a*2^2 + b)/(2 + 3) ≡ a = (5 - b)/4 da cui * f(x) = y = (4*b - (b - 5)*x^2)/(4*(x + 3)) * f'(x) = dy/dx = ((5 - b)*x^2 + 6(5 - b)*x - 4*b)/(4*(x + 3)^2) con pendenza m = 7/5 ≡ ≡ f'(2) = ((5 - b)*2^2 + 6(5 - b)*2 - 4*b)/(4*(2 + 3)^2) = 7/5 ≡ ≡ b = - 3 → a = 2 da cui * f(x) = y = (2*x^2 - 3)/(x + 3) Vedi http://www.wolframalpha.com/input?i=%28y%3D%287*x-9%29%2F5%29%26%28y%3D%282*x%5E2-3%29%2F%28x%2B3%29%29 --------------- B) Verifica che ... Mi pare ovvio che un'iperbole con assi di simmetria ruotati rispetto a quelli coordinati presenti un solo estremo relativo per ciascun ramo. La localizzazione si ha dalle condizioni classificatorie * minimo relativo ≡ (f'(x) = 0) & (f''(x) > 0) * massimo relativo ≡ (f'(x) = 0) & (f''(x) < 0) per calcolare le quali occorrono * f'(x) = 2 - 15/(x + 3)^2 * f''(x) = 30/(x + 3)^3 da cui * minimo relativo ≡ (2 - 15/(x + 3)^2 = 0) & (30/(x + 3)^3 > 0) ≡ x = - 3 + √(15/2) * massimo relativo ≡ (2 - 15/(x + 3)^2 = 0) & (30/(x + 3)^3 < 0) ≡ x = - 3 - √(15/2)