Criteri di convergenza

Problema:

Dimostra, applicando i criteri di integrabilità per gli integrali impropri, che $\int_1^{+∞} \frac{4-3\cos x}{x} dx$ diverge. Cambierebbe la risposta se il denominatore, invece di essere $x$, fosse $√x$? E se fosse $x²$?

Soluzione:

Dato che la funzione coseno presenta, per defenizione, immagine in $[-1,1]$ per ogni valore reale si ha che:

$\int_1^{+∞} \frac{4-3}{x} dx≤\int_1^{+∞} \frac{4-3\cos x}{x} dx≤\int_1^{+∞} \frac{4+3}{x} dx$ 

Ossia

$\int_1^{+∞} \frac{1}{x} dx≤\int_1^{+∞} \frac{4-3\cos x}{x} dx≤7\int_1^{+∞} \frac{1}{x} dx$ .

Studiando dunque il comportamento di $\int_1^{+∞} \frac{1}{x} dx$ è possibile verificare la divergenza o convergenza dell'integrale iniziale dato che se $\int_1^{+∞} \frac{1}{x} dx>+∞$ l'integrale dato diverge mentre se $\int_1^{+∞} \frac{1}{x} dx<+∞$ converge.

Facendo i conti:

$\int_1^{+∞} \frac{1}{x} dx=[\ln|x|]^{+∞}_1=+∞-0=+∞$. Ciò implica $+∞≤\int_1^{+∞} \frac{4-3\cos x}{x} dx≤+∞$ , dunque $\int_1^{+∞} \frac{4-3\cos x}{x} dx$ diverge.

Se il denominatore fosse $√x$, si avrebbe:

$\int_1^{+∞} \frac{1}{√x}dx=[2√x]^{+∞}_1=+∞$, dunque la risposta resta immutata.

Se il denominatore fosse $x²$, si avrebbe:

$\int_1^{+∞} \frac{1}{x²}dx=[-\frac{1}{x}]^{+∞}_1=1$, ciò implicherebbe $1≤\int_1^{+∞} \frac{4-3\cos x}{x²} dx≤7$ e dunque la convergenza dell'integrale dato. (Secondo WolframAlpha il valore si attesta a circa $4.25$)