Criteri di convergenza

a. Converge o diverge o...

dalle diseguaglianze 

$ 0 \le  \frac{arctan(x)}{1+x^4} \le \frac{\pi}{2} \frac{1}{x^4} $

segue che

$ 0 \le \int_1^{+\infty} \frac{arctan(x)}{1+x^4} \, dx  \le \frac{\pi}{2} \int_1^{+\infty} \frac{1}{x^4} \, dx $

$ 0 \le \int_1^{+\infty} \frac{arctan(x)}{1+x^4} \, dx  \le \frac{\pi}{2} \frac{1}{3} $

Per la monotonia dell'integrale, l'integrale dato è convergente

b. Stime.

Per la stima destra si può usare quella già usata al punto a., cioè $\frac{\pi}{6}$ 

Per quella a sinistra. 

• $arctan x \ge \frac{\pi}{4} $   vera per x ≥ 1
• $\frac {1}{1+x^4} \ge \frac {1}{2x^4}$

quindi

$ \frac{\pi}{4} \int_1^{+\infty}\frac {1}{2x^4} \, dx  \le \int_1^{+\infty} \frac{arctan(x)}{1+x^4} \, dx $ 

$  \frac{\pi}{4} \frac{1}{6} \le \int_1^{+\infty} \frac{arctan(x)}{1+x^4} \, dx $ 

$  \frac{\pi}{24} \le \int_1^{+\infty} \frac{arctan(x)}{1+x^4} \, dx $

se si vuole π/12 si tratta di fare un po' di prove e un po' di pazienza.