Il fatto che il piano è ruvido, fa sì che la sfera rotoli senza strisciare.
Per la conservazione dell'energia, l'energia potenziale all'inizio della rampa sarà uguale all'energia cinetica rotazionale alla base:
$ mgh = \frac{1}{2} I \omega^2$
Il momento di inerzia va calcolato tramite il teorema di Huygens, dato che la sfera rotola attorno al punto di contatto tra piano e sfera:
$ I = I_{CM} + mR^2 = \frac{2}{5} mR^2 + mR^2 = \frac{7}{5}mR^2$
dunque otteniamo:
$ mgh = \frac{7}{10} mR^2 \omega^2$
semplificando le masse. possiamo trovare la velocità angolare:
$ \omega = \sqrt{\frac{10}{7}\frac{gh}{R^2}} = \sqrt{\frac{10}{7}\frac{9.8*7}{0.18^2}} = 55 rad/s$
in termini di velocità tangenziale:
$ v = \omega R = 55 rad/s * 0.18 m = 9.9 m/s$
Per conoscere l'energia cinetica alla base della seconda rampa dovremmo conoscere la massa della sfera ... possiamo limitarci a dire che è pari all'energia potenziale iniziale.
Nel momento in cui la sfera sale sul piano liscio credo (credo!) che si possa assumere che la sfera cominci a traslare senza più ruotare. Quindi ponendo:
$ 1/2 mv^2 = mgh$
otteniamo
$ h = \frac{v^2}{2g} = \frac{9.9^2}{2*9.8} = 5 m$
Se hai delle soluzioni, sarebbe interessante vedere se l'ultimo punto è effettivamente corretto, mi riservo il beneficio del dubbio
Noemi