Una sfera con raggio di $18 cm$ rotola giù per un piano ruvido di altezza 7 metri, con angolo $\theta$. Percorre poi un breve tratto lineare prima di risalire su un piano inclinato liscio.
$$
\begin{array}{l}
h=7 m \\
\theta=25^{\circ} \\
R=18 cm
\end{array}
$$
-Quanto vale la velocità alla base della rampa?
-Quanto vale I' energia cinetica alla base della prima rampa?
-Di quando sale la sfera sulla seconda rampa?
31
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Livello 0
Il fatto che il piano è ruvido, fa sì che la sfera rotoli senza strisciare.
Per la conservazione dell'energia, l'energia potenziale all'inizio della rampa sarà uguale all'energia cinetica rotazionale alla base:
$ mgh = \frac{1}{2} I \omega^2$
Il momento di inerzia va calcolato tramite il teorema di Huygens, dato che la sfera rotola attorno al punto di contatto tra piano e sfera:
$ I = I_{CM} + mR^2 = \frac{2}{5} mR^2 + mR^2 = \frac{7}{5}mR^2$
dunque otteniamo:
$ mgh = \frac{7}{10} mR^2 \omega^2$
semplificando le masse. possiamo trovare la velocità angolare:
$ \omega = \sqrt{\frac{10}{7}\frac{gh}{R^2}} = \sqrt{\frac{10}{7}\frac{9.8*7}{0.18^2}} = 55 rad/s$
in termini di velocità tangenziale:
$ v = \omega R = 55 rad/s * 0.18 m = 9.9 m/s$
Per conoscere l'energia cinetica alla base della seconda rampa dovremmo conoscere la massa della sfera ... possiamo limitarci a dire che è pari all'energia potenziale iniziale.
Nel momento in cui la sfera sale sul piano liscio credo (credo!) che si possa assumere che la sfera cominci a traslare senza più ruotare. Quindi ponendo:
$ 1/2 mv^2 = mgh$
otteniamo
$ h = \frac{v^2}{2g} = \frac{9.9^2}{2*9.8} = 5 m$
Se hai delle soluzioni, sarebbe interessante vedere se l'ultimo punto è effettivamente corretto, mi riservo il beneficio del dubbio
Noemi
9874
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Livello 5
@n_f ciao non mi trovo con quello che hai scritto io ricordo che quando un corpo rigido rotola senza strisciare la sua energia cinetica è costituita dalla somma di due contributi uni dovuto al moto di rotolamento e altro al moto di traslazione E= 1/2*I*W^2 + 1/2*m*v^2
ti trovi?????
Ciao @marus76! In realtà è la stessa cosa: avendo considerato come momento di inerzia quello attorno all'asse di istantanea rotazione, che ho calcolato con Huygens-Steiner, il punto di contatto risulta fermo e dunque c'è solo l'energia cinetica rotazionale. Quello che scrivi tu è invece calcolato rispetto al CM, in cui abbiamo momento di inerzia rispetto al CM e velocità del CM. Naturalmente le due cose coincidono nel risultato.
Qui comunque lo trovi spiegato molto bene, con dimostrazione e tutto
@n_f si ok mi trovo ciao
