Contrazioni

Le derivate sono tutte derivate seconde, purtroppo non me le fa indicare con ''.

Soluzione(Insicura):

Nota: le derivate del testo sono in realtà tutte derivate seconde.

(A) (i) Si mostra che $E$ è chiuso per successioni, ossia, data $p_k(x)=a_k+b_k\cos (6\pi x)$ convergente con metrica $d_{\mathrm{\infty }}$ ad una certa funzione $f$, è necessario mostrare che $\mathrm{\exists }a,b\in \mathbb{R}:f(x)=a+b\cos (6\pi x)\in E$. Dato che dalla convergenza uniforme segue la convergenza puntuale, è sufficiente dimostrare che $f(x)=a+b\cos (6\pi x)\mathrm{\forall }a,b\in \mathbb{R}$ : 

$||p_k(x)-a-b\cos (6\pi x)|{|}_{\mathrm{\infty }}=\underset{x\in [0,1]}{max}\{a_k+b_k\cos (6\pi x)-a-b\cos (6\pi x)|\}\le |b_k-b|\underset{x\in [0,1]}{max}\{\cos (6\pi x)\}+|a_k-a|=|b_k-b|+|a_k-a|\to 0$ ciò converge a zero per quanto detto prima sulla convergenza alla certa funzione.

Per l'unicità del limite si ha dunque $f(x)=a+b\cos (6\pi x)$, ciò implica dunque che E è un insieme chiuso.

(ii) Dato che E è chiuso e che $(E,d_{\mathrm{\infty }})\subset (C([0,1]),d_{\mathrm{\infty }})$, il quale è completo, si ha che anche esso è completo.

(B) (i) $||p|{|}_{\mathrm{\infty }}=ma{x}_{x\in [0,1]}|a+b\cos (6\pi x)|$  dato che il coseno ha valori  tra 1 e -1 si ha: $||p|{|}_{\mathrm{\infty }}=max(|a+b|,|a-b|)$

(ii) Per le nozioni sugli spazi di Banach si ha che la norma infinito è una norma anche su E dato che lo è su $C([0,1])$.

(C) (Nota: la notazione della derivata prima qui è la derivata seconda in realtà) Prima di inziare a risolvere il quesito è necessario calcolare $p^{″}(x)=-36\pi ²b\cos (6\pi x)$. Quindi si ha $Tp(x)=-36\pi ²b\lambda \cos (6\pi x)+4+7\cos (6\pi x)=\cos (6\pi x)(7-36\pi ²b\lambda )+4$. Per definizione di contrazione si ha che $||Tp-Tq|{|}_{\mathrm{\infty }}\le C||p-q|{|}_{\mathrm{\infty }}$, ove $C<1$. Facendo i conti:

$||Tp-Tq|{|}_{\mathrm{\infty }}=|(-36\pi ²\lambda (b_p-b_q)+7)\cos (6\pi x)|\le |(-36\lambda \pi ²)(b_p-b_q)|+7$

Dato che T è una contrazione è necessario porre $|-36\lambda \pi ²|<1⟹|\lambda |<\frac{1}{36\pi ²}$.

(D) Per individuare i punti fissi è necessario utilizzare la definizione $Tp=p$. Si ha dunque $\cos (6\pi x)(7-36\pi ²b\lambda )+4=a+b\cos (6\pi x)$. Da qui è possibile ricavare il sistema $\{a=4,b=\frac{7}{1-36\pi ²\lambda })\}$. Si ha dunque: $p(x)=4+\frac{7}{1-36\pi ²\lambda }\cos (6\pi x)$.

(E) (Nota: la notazione della derivata prima qui è la derivata seconda in realtà) Svolgendo i conti si ha $|p(\frac{1}{12})|=|a|$ e $|p^{″}(0)=36\pi ²|b|$. Si ha dunque $||\cdot |{|}_E=|a|+36\pi ²|b|$. Si mostra che $C_1||\cdot |{|}_{\mathrm{\infty }}\le ||\cdot |{|}_E\le C_2||\cdot |{|}_{\mathrm{\infty }}$.

@eidosm grazie mille comunque, purtroppo online non sono riuscita a trovare esercizi simili svolti e in aula non ne abbiamo fatto mezzo T.T

Per ora sono riuscita a risolvere in autonomia solo i primi due punti tramite la chiusura per successioni.

@enrico_bufacchi Grazie mille per i preziosi consigli, purtroppo devo ancora prenderci la mano con il rigore nelle dimostrazioni...