Continuità

Purtroppo non ho il computer e ti posso dare solo un input

Puoi scrivere le due uguaglianze

1/2 *(f^2 (2)-f^2 (0))=(e^2 - 1)/8

ln|f(2)|-ln|f(0)|= 1

che significa 

b^2 - a^2 =(e^2 - 1)/4

¦b/a|=e

da cui

a=f(0)=1/2

b=f(2)=e/2

Poniamo:

{x = f(2)

{y = f(0)

Quindi i due integrali significano:

{x^2/2 - y^2/2 = (e^2 - 1)/8

{LN(x) - LN(y) = 1

{x > 0 ∧ y > 0

--------------------------------

Dalla seconda si ha: y = x·e^(-1)

che inserita nella prima:

x^2/2 - (x·e^(-1))^2/2 = (e^2 - 1)/8

x^2·(1/2 - e^(-2)/2) = (e^2 - 1)/8

x^2·(e^(-2)·(e^2 - 1)/2) = (e^2 - 1)/8

Risolvendo si ottiene:

x = - e/2 ∨ x = e/2

(quella negativa si scarta)

y = e/2·e^(-1)-------> y = 1/2

intg(da 0 a 2) df/dx*f*dx = intg(da f(0) a f(2))f df= intg(da f(0) a f(2)) d(f²/2) = (f(2)² - f(0)²)/2 = (e² -1 )/8  --->f(2)² - f(0)² = (e² -1 )/4 = (e/2)² - (1/2)²

e

intg(da 0 a 2) (df/dx)/f*dx = intg(da f(0) a f(2))1/f df = lnf(2) - lnf(0)=ln(f(2) / f(0)) = 1 ---> f(2) / f(0) = e^1 = e  ---> f(2) = e*f(0)

sostituendo nella prima:

e²*f(0)² - f(0)² = (e²-1)f(0)²= (e² -1 )/4  ---> f(0) = 1/2   e ovviamente f(2) = e*1/2 = e/2