[Risolto] Continuità e derivabilità funzioni a due variabili

Verifichiamo la continuità della funzione verificando se il limite in (0,0) dà come risultato 0:

$lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)} \frac{ysin(3x-y^2)+x^{7/3}cosy}{\sqrt[4]{x^4+y^2}}= \frac{[0]}{[0]}$

Sostituiamo $y=mx$ per vedere cosa succedere al variare di m:

$lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)} \frac{mx\cdot sin(3x-m^2x^2)+x^{7/3}cos(mx)}{\sqrt[4]{x^4+m^2x^2}}= $

Utilizzando il limite notevole $lim_{x\rightarrow 0} \frac{sinx}{x} = 1$, che in altre parole ci dà l'approssimazione $sinx \approx x$, possiamo scrivere che $sin(3x-m^2x^2) \approx 3x-m^2x^2$:

$lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)} \frac{mx(3x-m^2x^2)+x^{7/3}cos(mx)}{\sqrt[4]{x^2(x^2+m^2)}}= $

e facendo un po' di conti:

$lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)} \frac{3mx^2-m^3x^3+x^{7/3}cos(mx)}{\sqrt{x}\sqrt[4]{x^2+m^2}}= $

metto in evidenza per semplificare:

$lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)} \frac{x^2(3m-m^3x+x^{1/3}cos(mx))}{\sqrt{x}\sqrt[4]{x^2+m^2}}=$

per cui ottengo, semplificando la $x^2$ con la $\sqrt{x}$ del denominatore:

$lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)} \frac{x^{3/2}(3m-m^3x+x^{1/3}cos(mx))}{\sqrt[4]{x^2+m^2}}= \frac{0}{\sqrt[4]{m^2}}=0$

Dato che il limite è $0 \forall m\in R$, il limite esiste e la funzione è continua.

Passiamo ora alla derivabilità. Vediamo se esistono le derivate parziali attraverso il limite del rapporto incrementale. Cominciamo con la derivata in 0 rispetto a x, per cui calcoliamo:

$ f_x(0,0) = lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(0+h,0)-f(0,0)}{h} = lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(h,0)}{h}$

dove ho tenuto presente che $f(0,0)=0$. Otteniamo quindi:

$lim_{h\rightarrow 0}\frac{\frac{0\cdot sin(3h-0)+h^{7/3}cos0}{\sqrt[4]{h^4+0}}}{h}=$

$ lim_{h\rightarrow 0}\frac{\frac{h^{7/3}}{\sqrt[4]{h^4}}}{h}= $

$lim_{h\rightarrow 0}\frac{h^{7/3}}{h} \cdot \frac{1}{h}= lim_{h\rightarrow 0} h^{1/3} = 0$

Dunque $f_x(0,0) = 0$ e la funzione ha derivata parziale rispetto a x.

Analogamente calcoliamo la derivata rispetto a y:

$ f_y(0,0) = lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(0,0+h)-f(0,0)}{h} = lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(0,h)}{h}$

Dunque:

$ lim_{h\rightarrow 0} \frac{\frac{hsin(0-h^2)+0\cdot cosh}{\sqrt[4]{0+h^2}}}{h}=$

$lim_{h\rightarrow 0} \frac{\frac{hsin(-h^2)}{\sqrt{h}}}{h}=$

$lim_{h\rightarrow 0} \frac{hsin(-h^2)}{\sqrt{h}} \cdot \frac{1}{h}=$

$lim_{h\rightarrow 0} \frac{-sin(h^2)}{\sqrt{h}} =$

applicando sempre il limite notevole approssimiamo $sin(h^2) approx h^2$

$lim_{h\rightarrow 0} \frac{-h^2}{\sqrt{h}} = lim_{h\rightarrow 0} h^{3/2} = 0$

Quindi anche qui $f_y(0,0)=0$ e la funzione ha derivata parziale rispetto a y.

Banalmente otteniamo quindi che il gradiente è:

$\nabla f(0,0) = (f_x(0,0), f_y(0,0)) = (0,0)$

Noemi

Ma certo che esiste ∇f(0, 0): il gradiente di una costante è il vettore nullo.
Origine esclusa
* ∇f(x, y) = vedi "Result in 2D Cartesian coordinates" al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%E2%88%87%5B%28y*sin%283*x-y%5E2%29%2B%28x%5E%287%2F3%29%29*cos%28y%29%29%2F%28x%5E4--y%5E2%29%5E%281%2F4%29%5D&assumption=%22%5E%22+-%3E+%22Real%22
poi vedi tu