Data la funzione $f(x)=\frac{e^{x^2}-1}{x}$, verifica che è prolungabile con continuità in $x=0$ e definisci il prolungamento continuo. Stabilisci se il prolungamento continuo dif è anche derivabile in $x=0$.
[Il prolungamento continuo si ottiene ponendo $f(0)=0$; è derivabile]
Come si risolve l'esercizio n.ro 698? Quale è il procedimento da seguire? Grazie mille.
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Livello 2
Se al denominatore ci fosse x^2 invece di x, il limite con x che tende a 0 sarebbe 1 (limite notevole).
Allora se consideriamo f(x)=f(x)*(1/x)*x e facciamo il limite di f(x) con x che tende a 0, osserviamo che il suo limite è 1*0=0.
Per prolungare f(x) in x=0 in modo che risulti ancora continua, basta imporre che f(0) sia uguale a 0.
Per vedere che questa funzione sia derivabile in x=0, dovremmo fare il limite del rapporto incrementale con x che tende a 0, sia da destra che da sinistra e verificare che i due valori siano finiti e coincidenti (questa sarebbe la strada formalmente più corretta).
Ma in questo caso, direi che possiamo anche fare direttamente la derivata di f(x).
A destra e a sinistra di x=0 coincide, dato che in quei punti la funzione è definita senza bisogno di alcuna estensione.
f'={[(e^(x^2)*2x*x] - [e^(x^2)-1]}/x^2=2e^(x^2)-[e^(x^2)-1]/x^2
A questo punto possiamo valutare il limite di f' con x che tende a 0 e questo risulta = 1 sia da destra che da sinistra, quindi f(x) risulta anche derivabile in x=0 e il valore di f'(0)=1.
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Livello 2
@docferrux Grazie!
