Considera un trapezio isoscele con base $A B=4 \mathrm{~cm}$ e lati obliqui $C B=A D=4 \mathrm{~cm}$. Per quale valore di dell'angolo alla base $\hat{A}=\hat{B}$ l'area del trapezio è massima? (sol: $\frac{\pi}{3}$ )
Considera un trapezio isoscele con base $A B=4 \mathrm{~cm}$ e lati obliqui $C B=A D=4 \mathrm{~cm}$. Per quale valore di dell'angolo alla base $\hat{A}=\hat{B}$ l'area del trapezio è massima? (sol: $\frac{\pi}{3}$ )
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@susy01 ti suggerisco di fare un disegno che renda di più la situazione, in quanto nel testo i lati obliqui sono dichiarati lunghi quanto la base maggiore, mentre nel tuo disegno appaiono come la sua metà..
Diciamo A^ = x e L la lunghezza di base maggiore e lato obliquo.
Tracci l'altezza e consideri il triangolo rettangolo che si forma
h = L sin x
b = B - 2 L cos x = L - 2 L cos x
(B + b)/2 = (L + L - 2 L cos x)/2 = L (1 - cos x)
Pertanto
St = L^2 sin x (1 - cos x)
e cerchi il massimo di sin x - sin x cos x = sin x - 1/2 sin 2x
per cui possiamo dire ByeBye al sogno di cavarsela senza le derivate
dSt/dx = cos x - 1/2 * 2 cos 2x >= 0
cos x - (cos^2(x) - sin^2(x)) >= 0
cos x - cos^2(x) + 1 - cos^2(x) >= 0
- 2 cos^2(x) + cos x + 1 >= 0
2 cos^2(x) - cos x - 1 <= 0
- 1 <= cos x <= 1/2
siamo interessati solo al I e II quadrante in cui il coseno é decrescente
per cui si ha il massimo quando
cos x = 1/2 => x = pi/3
e St_max = 4^2 * rad(3)/2 * ( 1 - 1/2 ) cm^2 = 16/4 rad(3) cm^2 =
= 4 rad(3) cm^2
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