[Risolto] Considera un cono equilatero di altezza 2a e vertice V...

Poichè il cono è equilatero, l'apotema $\overline{V A}=2 r$, inoltre, applicando il teorema di Pitagora al triangolo VOA possiamo trovarci l'altezza del cono $\overline{V O}$ :
$$
\overline{V O}=\sqrt{\overline{V A}^2-r^2}=\sqrt{4 r^2-r^2}=\sqrt{3} r
$$

La superficie laterale del cono $V B A$ è:

$$
S_{V B A}=\pi \cdot r \cdot \overline{V A}=2 \pi r^2
$$
Imponiamo, quindi, che la superficie laterale del cono $V D C$ sia uguale alla superficie laterale del tronco di cono $D B A C$ ed che ciascuna di esse sia metà della superficie laterale del cono $V B A$ :
$$
S_{V D C}=S_{D B A C}=\frac{S_{V B A}}{2}=\frac{2 \pi r^2}{2}=\pi r^2
$$
Inoltre, la superficie laterale del tronco di cono è:
$$
S_{D B A C}=\pi(r+\overline{P C}) \cdot \overline{A C}
$$
mentre quella del cono $V D C$ è:
$$
S_{V D C}=\pi \overline{P C} \cdot \overline{V C}=\pi \overline{P C}(\overline{V A}-\overline{A C})
$$
Essendo le due superfici uguali a $\pi r^2$, otteniamo che:
$$
\begin{aligned}
& \pi(r+\overline{P C}) \cdot \overline{A C}=\pi \overline{P C}(\overline{V A}-\overline{A C}) \\
& r \overline{A C}+\overline{P C} \cdot \overline{A C}=2 r \overline{P C}-\overline{P C} \cdot \overline{A C} \\
& r \overline{A C}+2 \overline{P C} \cdot \overline{A C}=2 r \overline{P C} \\
& (r+2 \overline{P C}) \overline{A C}=2 r \overline{P C} \\
& A C=\frac{2 r \overline{P C}}{r+2 \overline{P C}}
\end{aligned}
$$

Dall'espressione di $S_{V D C}$ ricaviamoci $P C$.
$$
\begin{aligned}
& S_{V D C}=\pi \overline{P C}(\overline{V A}-\overline{A C}) \\
& \pi r^2=\overline{P C}\left(2 r-\frac{2 r \overline{P C}}{r+2 \overline{P C}}\right) \\
& r^2=2 r \overline{P C}-\frac{2 r \overline{P C}}{r+2 \overline{P C}} \\
& \frac{r^2(r+2 \overline{P C})}{r+2 \overline{P C}}=\frac{2 r^2 \overline{P C}+4 r \overline{P C}^2-2 r \overline{P C}^2}{r+2 \overline{P C}} \\
& r^2+2 r \overline{P C}=2 r \overline{P C}+2 \overline{P C}^2
\end{aligned}
$$
Da cui segue che
$$
\overline{P C}^2=\frac{r^2}{2} \quad \Rightarrow \quad \overline{P C}=\frac{r}{\sqrt{2}} r
$$
Sostituiamo $\overline{P C}$ nell'espressione di $\overline{A C}$ :
$$
A C=\frac{2 r \overline{P C}}{r+2 \overline{P C}}=\frac{\sqrt{2} r^2}{r+\sqrt{2} r}=\frac{2 r}{2+\sqrt{2}}=(2-\sqrt{2}) r
$$
Infine, sapendo che
$$
\overline{V C}=a-\overline{A C}=2 r-(2-\sqrt{2}) r=\sqrt{2} r
$$
e che per il teorema di Pitagora applicato al triangolo rettangolo VPC
$$
\overline{V P}=\sqrt{\overline{V C}^2-\overline{P C}^2}=\sqrt{2 r^2-\frac{1}{2} r^2}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} r
$$
si ha che la distanza richiesta è:
$$
\overline{P O}=\overline{V O}-\overline{V P}=\sqrt{3} r-\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} r=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}} r
$$

Svolto molto bene per le superfici laterali...