[Risolto] Considera la Terra e la Luna che si trovano nella posizione di minima distanza

Il campo gravitazionale risultante nel punto a distanza $x$ dal centro della Luna, risulta

\[\mathcal{g_{tot}} = 2\mathcal{g}_T\,.\]

Poiché dal centro della Terra la distanza da tale punto è $d + x$, si ha

\[\mathcal{g}_{tot} = 2\mathcal{g}_T = \mathcal{g}_T + \mathcal{g}_L \iff \mathcal{g}_T + \mathcal{g}_L = 2\mathcal{g}_T \iff \mathcal{g}_L = \mathcal{g}_T \implies\]

\[\frac{GM_T}{(d + x)^2} = \frac{GM_L}{x^2} \iff \frac{M_T}{(d + x)^2} = \frac{M_L}{x^2} \iff\]

\[\frac{1}{\sqrt{81,3}} = \frac{x}{3,63 \cdot 10^8 + x} \implies 9,02 x = 3,63 \cdot 10^8 + x \iff\]

\[x = \frac{3,63 \cdot 10^8}{8,02} \approx 4,53 \cdot 10^7\:m\,.\]

Mt = 81 Ml

dette x la distanza dalla Luna e d la distanza Terra-Luna. audemus dicere 😉:

Ml*G/x^2 = 81Ml*G/(d-x)^2

G ed Ml si semplificano

(d-x)^2 = 81x^2

(d^2-2dx) = 80x^2

d^2-2dx-80x^2 = 0 

x = (2d-√4d^2+320d^2)/-160

x = (2d-18d)/-160 = -16d/-160 = d/10