Considera i triangoli $A B C$ con $A\left(-\frac{5}{3} ; 0\right)$, $B(4 ; 0)$ e $C$ variabile sulla retta $r$ di equazione $y=-x+9$. Verifica che esistono due posizioni di $C$ per cui è $A \widehat{C} B=\frac{\pi}{4}$.
$$
\left[C_1(5 ; 4), C_2\left(\frac{7}{3} ; \frac{20}{3}\right)\right]
$$
3
punti
Livello 0
Siano η e μ i coefficienti angolari delle rette passanti per i due punti assegnati:
[- 5/3, 0] e [4, 0]
Tali rette quindi si scrivono con:
{y = η·(x + 5/3)
{y = μ·(x - 4)
Se risolviamo il sistema in termini dei due coefficienti angolari otteniamo:
[η = 3·y/(3·x + 5) ∧ μ = y/(x - 4)]
L'angolo formato dalle due rette deve essere tale per cui risulti:
TAN(pi/4) = 1
Quindi deve risultare:
1 = ABS((η - μ)/(1 + η·μ))
(tangente dell'angolo formato da due rette di dati coefficienti angolari)
Il punto C sulla retta: y = -x + 9 è tale per cui: [x, -x + 9]
Quindi determiniamo l'argomento del valore assoluto tenendo conto che:
η = 3·(-x + 9)/(3·x + 5) ∧ μ = (-x + 9)/(x - 4)
A numeratore compare:
3·(9 - x)/(3·x + 5) - (x - 9)/(4 - x) = 17·(x - 9)/((x - 4)·(3·x + 5))
A denominatore compare:
1 + 3·(9 - x)/(3·x + 5)·(x - 9)/(4 - x) = (6·x^2 - 61·x + 223)/((x - 4)·(3·x + 5))
Quindi l'argomento è:
17·(x - 9)/((x - 4)·(3·x + 5))/((6·x^2 - 61·x + 223)/((x - 4)·(3·x + 5)))=
=17·(x - 9)/(6·x^2 - 61·x + 223)
Liberando il modulo abbiamo due possibilità:
17·(x - 9)/(6·x^2 - 61·x + 223) = 1
risolta non fornisce soluzioni nell'ambito dei numeri reali.
Mentre fornisce soluzioni:
17·(x - 9)/(6·x^2 - 61·x + 223) = -1
x = 7/3 ∨ x = 5
Quindi due punti C1 e C2
90141
punti
Genius II
