[Risolto] Coniche tangenti

Se il centro é sull'asse y, allora xC = 0 => -a/2 = 0 => a = 0

x^2 + y^2 + by + c = 0

Ponendo y = 1

x^2 + b + c + 1 = 0

può avere D = 0 se e solo se

0^2 - 4*(b + c + 1) = 0

c = -b - 1

x^2 + y^2 + by - b - 1 = 0

deve essere tangente alla parabola y = 5 - x^2. 

Siano (xo,yo) le coordinate del punto di tangenza 

allora 

xo^2 + yo^2 + byo -b - 1 = 0

y = 5 - xo^2 

Il centro é in (0, - b/2)

il raggio per (xo,yo) ha coefficiente angolare 

mr = (yo + b/2)/(xo - 0) = (yo + b/2)/xo 

e mt = - 2xo/(2yo + b) 

Per la parabola mt = 2axo + b = 2*(-1) xo + 0 = - 2xo

e la condizione di tangenza fra le due coniche é 

- 2xo/(2yo + b) = - 2xo 

2yo + b = 1 

yo = (1 - b)/2 

xo^2 = 5 - yo = 5 - 1/2 + b/2 = (9 + b)/2

pertanto 

xo^2 + yo^2 + by - b - 1 = 0 

diventa 

9/2 + b/2 + (1-b)^2/4 + b (1 - b)/2 - b - 1 = 0

9/2 + b/2 + 1/4 + b^2/4 - b/2 + b/2 - b^2/2 - b - 1 = 0

- b^2/4 - b/2 + 15/4 = 0

b^2 + 2b - 15 = 0

b^2 + 2b + 1 = 16

(b + 1)^2 = 4^2

b + 1 = +- 4

b = -1 +- 4 => b = -5 V b = 3

e ci sono due soluzioni al problema : 

b = -5 

x^2 + y^2 - 5y + 4 = 0

b = 3

x^2 + y^2 + 3y - 4 = 0

Nell'equazione della circonferenza generica in forma normale standard
* Γ ≡ (x - a)^2 + (y - b)^2 = q = r^2
ci sono tre parametri: raggio r (o q = r^2) e coordinate del centro C(a, b).
Si trova l'equazione della circonferenza trovando i tre parametri (a, b, q).
-----------------------------
"aventi il centro sull'asse y" ≡ a = 0
"tangenti la retta y = 1" ≡ r = |b - 1| ≡ q = (b - 1)^2
* Γ ≡ x^2 + (y - b)^2 = (b - 1)^2
-----------------------------
"tangenti la parabola y = 5 - x^2" vuol dire che la biquadratica risolvente del sistema dei punti comuni
* x^2 + (5 - x^2 - b)^2 = (b - 1)^2 ≡
≡ x^4 + (2*b - 9)*x^2 - 8*(b - 3) = 0
deve avere discriminante nullo
* Δ(b) = - 128*(b - 3)*((2*b + 3)*(2*b - 5))^2 = 0 ≡
≡ b ∈ {- 3/2, 5/2, 3}
il che assicura che, invece di dire "zero, due o quattro punti reali comuni", si possa dire "un punto reale doppio comune e poi zero o due intersezioni reali" oppure "due punti reali doppi comuni".
---------------
Per b = - 3/2
due punti reali doppi comuni in (± √6, - 1)
* Γ ≡ x^2 + (y + 3/2)^2 = 25/4
---------------
Per b = 5/2
due punti reali doppi comuni in (± √2, 3)
* Γ ≡ x^2 + (y - 5/2)^2 = 9/4
---------------
Per b = 3
un punto reale doppio comune in (0, 5) e due intersezioni reali in (± √3, 2)
* Γ ≡ x^2 + (y - 3)^2 = 4
-----------------------------
NOTA: il risultato atteso è errato per incompletezza, ci sono tre soluzioni e non due.
---------------
Vedi il grafico e il paragrafo "Solutions" al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5B%281-y%29*x%5E2-5%3D%28y+-+6%29*y%2C%28x%5E2--%28y--3%2F2%29%5E2-25%2F4%29*%28x%5E2--%28y-5%2F2%29%5E2-9%2F4%29*%28x%5E2--%28y-3%29%5E2-4%29%3D0%5D