Scrivi l'equazione del luogo dei punti P del piano per i quali la distanza dalla retta di equazione x = -1 è la metà della distanza dal punto A(2, 0). Determina il centro dell'iperbole trovata.
soluzione : 3x^2-y^2+12x=0
Scrivi l'equazione del luogo dei punti P del piano per i quali la distanza dalla retta di equazione x = -1 è la metà della distanza dal punto A(2, 0). Determina il centro dell'iperbole trovata.
soluzione : 3x^2-y^2+12x=0
x = -1
[2, 0] punto A
[x, y] punto P
Deve essere:
ABS(x + 1) = 1/2·√((x - 2)^2 + y^2)
(ABS(x + 1) = 1/2·√((x - 2)^2 + y^2))^2
elevo al quadrato entrambi i membri:
x^2 + 2·x + 1 = (x^2 - 4·x + y^2 + 4)/4
4·(x^2 + 2·x + 1) - (x^2 - 4·x + y^2 + 4) = 0
(3·x^2 + 12·x) - y^2 = 0
3·(x^2 + 4·x + 4) - y^2 = 12
(x + 2)^2/4 - y^2/12 = 1
[-2, 0] centro iperbole
(x+1)^2 = 1/4*((x-2)^2+y^2)
4x^2 + 8x + 4 = x^2 - 4x + 4 + y^2
3x^2 - y^2 + 12x = 0
Dobbiamo metterla in forma canonica
3x^2 + 12x + 12 - y^2 = 12
3(x+2)^2/12 - y^2/12 = 1
(x-(-2))^2/2^2 - (y)^2/(2 rad(3))^2 = 1
C=(-2,0).
La distanza di P(x, y) da A(2, 0) è
* |PA| = √((x - 2)^2 + y^2)
La distanza di P(x, y) dalla retta r ≡ x = - 1 è
* |Pr| = |x + 1|
Il vincolo che traduce la condizione è
* √((x - 2)^2 + y^2) = 2*|x + 1| ≡
≡ (x - 2)^2 + y^2 = (2*|x + 1|)^2 ≡
≡ y^2 = 3*x^2 + 12*x ≡
≡ 3*x^2 + 12*x - y^2 = 0 ≡ NB: questo è proprio il risultato atteso
≡ 3*(x + 2)^2 - y^2 = 12 ≡
≡ (x + 2)^2/4 - y^2/12 = 1
da cui il centro
* C(- 2, 0)