[Risolto] Coniche

@181119

Possiamo scrivere l'equazione del fascio di rette proprio, avente centro nel punto P e imporre la condizione di tangenza fascio di rette - parabola mettendo a sistema le due equazioni e imponendo la condizione Delta = 0.

L'equazione del fascio di rette proprio con centro in P è:

y+6 = m*(x-3)

Il sistema tra il fascio e la parabola risulta quindi:

{y= x² - 5x + 1

{y= mx - 3m - 6

Per confronto otteniamo:

x² - (m+5)*x + (3m+7) = 0

Imponendo la condizione di tangenza Delta = 0, si ricavano i valori di m che sostituiti nell'equazione del fascio forniscono le rette tangenti alla parabola. 

Delta=0  <==> (m+5)² - 4(3m+7)=0

m² - 2m - 3 = 0

(m-3)(m+1)=0

Da cui si ricavano i valori:

m=3, m= - 1

Quindi sono due le rette tangenti alla parabola;

y+6 = 3*(x - 3)

Quindi: y= 3x - 15

y+6 = - (x - 3)

y= - x - 3

1) Ricavare la forma normale canonica della parabola Γ dalla forma esplicita data.
* Γ ≡ y = x^2 - 5*x + 1 ≡ x^2 - 5*x - y + 1 = 0
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2) Verificare la posizione di P(3, - 6) rispetto a Γ.
* 3^2 - 5*3 - (- 6) + 1 = 9 - 15 + 6 + 1 = 1 != 0
P è esterno a Γ.
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3) Costruire la polare p di P rispetto a Γ per sdoppiamento sulla forma canonica.
* 3*x - 5*(x + 3)/2 - (y - 6)/2 + 1 = 0 ≡ y = x - 7
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4) Individuare i punti T di tangenza come intersezioni.
* p & Γ ≡ (y = x - 7) & (y = x^2 - 5*x + 1) ≡
≡ T1(2, - 5) oppure T2(4, - 3)
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5) Determinare le richieste tangenti come congiungenti il polo P coi i punti T di tangenza.
* PT1 ≡ y = - x - 3
* PT2 ≡ y = 3*x - 15
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http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By%3Dx%5E2-5*x--1%2C%28x-7-y%29*%28-x-3-y%29*%283*x-15-y%29%3D0%5D