[Risolto] Condizioni d'esistenza di una funzione fratta

Non devi agire in modo meccanico, da studente di ingegneria te lo dico. Devi sempre capire cosa fare.

Innanzitutto ti invito a fare propri gli argomenti del dominio/campo di esistenza di una funzione generica.

Poi, per rispondere alla domanda, le condizioni da imporre sono:

$x \geq 0$  -- condizione della radice di indice pari

$x \neq 0$  -- condizione del denominatore diverso da 0

$x^2 -2 \geq 0$  -- condizione della radice di indice pari

Fine.

In genere, le prime cose che si guardano sono il denominatore, le radici, e gli argomenti delle funzioni trascendentali. Ci sono anche altre considerazioni, ma queste ti coprono il 99% dei casi, mettiamola così.

A) Le parentesi non sono un optional: la funzione di variabile reale è
* y = 1/(√(x) - √(x^2 - 2))
ed ha
* dominio: l'intero asse reale
* codominio: l'intero piano di Argand-Gauss
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B) "l'unico modo per DICHIARARE che una COSA QUALCHESSIA non è nulla" è di scrivere
* QUALCHESSIA != 0
cioè
* √(x) - √(x^2 - 2) != 0
si vede che l'unico zero dell'espressione è per x = 2 e quindi che la funzione
* y = 1/(√(x) - √(x^2 - 2))
è definita su quasi tutto l'asse reale, tranne che in x = 2.
Tuttavia l'insieme di definizione reale è nettamente più ridotto richiedendo che il denominatore di y sia reale non nullo, cioè
* (x != 2) & (x >= 0) & (x^2 - 2 >= 0) ≡
≡ (x != 2) & (x >= 0) & ((x <= - √2) oppure (x >= √2)) ≡
≡ (x != 2) & (x >= 0) & (x <= - √2) oppure (x != 2) & (x >= 0) & (x >= √2) ≡
≡ (x != 2) & (insieme vuoto) oppure (x != 2) & (x >= √2) ≡
≡ (insieme vuoto) oppure (x != 2) & (x >= √2) ≡
≡ (x != 2) & (x >= √2)