condensatore con dielettrico non omogeneo

Question

Salve, svolgendo il problema qui sotto ottengo il seguente risultato: C=4piE0A(ab)/[r^2(b-a)], ma il risultato indicato come corretto è C=4piE0A/(b-a).

Cosa sbaglio?

Lo spazio compreso tra le due armature di un condensatore sferico `e completamente
riempito da un mezzo dielettrico lineare ma non omogeneo catterizzato da una costante
dielettrica Er dipendente dalla coordinata radiale r secondo la legge Er(r) = A/r2
(con A costante). Assumendo che le armature del condensatore abbiano spessore trascurabile ed indicati con a e b, rispettivamente, i raggi della armatura interna ed esterna
determinate l’espressione della capacita elettrica del condensatore.

Autore

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ekesc

(@ekesc)

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16/02/2023 18:07

Stranglehold · Accepted Answer

La capacità di un condensatore è data dalla relazione $C \, = \, \dfrac{Q}{\Delta V}$

Col teorema di Gauss calcolo il campo elettrico: se prendo una superficie sferica di raggio $r$ con $a < r < b$, allora:

$E(r) \, = \, \dfrac{Q}{4 \pi \epsilon_{0}\epsilon_{r} r^{2}}$

$\epsilon_{r} \,=\, \dfrac{A}{r^{2}}$

di conseguenza $E(r) \, = \, \dfrac{Q}{4 \pi \epsilon_{0} A}$

La differenza di potenziale tra le armature si calcola come:

$\Delta V \,=\, { \displaystyle-\int_{a}^{b}{E(r) dr}}$

$\Delta V \,=\, { \displaystyle -\int_{a}^{b} {\dfrac{Q}{4 \pi\epsilon_{0} A} dr}}$

$\Delta V \,=\, -\dfrac{Q}{4 \pi \epsilon_{0}A} \cdot (b-a)$

Se prendo il valore assoluto della differenza di potenziale:

$C \,=\, \dfrac{Q}{\Delta V} \,=\, \dfrac{4 \pi \epsilon_{0} A}{b-a}$

Stranglehold

(@stranglehold)

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19/02/2023 17:30

[Risolto] condensatore con dielettrico non omogeneo

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