Composizione funzioni

a.

Applichi la definizione sostituendo alle x con il valore delle g(x)  

$ f \circ g(x) = 2(3-2x) + 1 = 7 - 4x $

La funzione f◦g(x) è biunivoca quindi è invertibile laddove definita.

Se esiste l'inversa troviamola. Riporto una procedura usata in USA, che si sviluppa in tre passi

1. Riscrivi la funzione nella forma y = y(x), cioè y = 7 - 4x

2. Scambia tra loro il nome delle variabili.  x = 7 - 4y

3. Ricava la y.     y = (7-x)/4

Questa è la funzione inversa, cioè $ φ(x) = \frac{7-x}{4} $.

b.  Passiamo alla disequazione

$ φ(x) > f(|x|) = 2|x| + 1$

$ \frac{7-x}{4} > 2|x| + 1 $
$ 7-x > 8|x| + 4 $

$ 3 > 8|x| + x $

Dobbiamo considerare i due casi

1. Se x ≥ 0 allora avremo 3 > 9 x ovvero x < 1/3

2. Se x < 0 allora avremo 3 > -7 x ovvero x > - 3/7

Unendo i due risultati (intersezione dei due insiemi soluzione)

$ - \frac{3}{7} \lt x \lt \frac{1}{3} $  

EX. 6 (come da richiesta)

f = 2·x + 1

g = 3 - 2·x

fog = 2·(3 - 2·x) + 1

fog = 7 - 4·x

Risolvo rispetto ad x e cambio le variabili:

φ = (7 - x)/4

quindi:

f (|x|)= 2·ABS(x) + 1

quindi risolvo:

(7 - x)/4 > 2·ABS(x) + 1

ABS(x) < ((7 - x)/4 - 1)/2--->ABS(x) < (3 - x)/8 

Equivale a scrivere due sistemi di disequazioni e considerare infine l'unione delle soluzioni ottenute:

Sistema 1

{x < (3 - x)/8

{x ≥ 0

Sistema 2

{-x < (3 - x)/8

{x < 0

Quindi il primo fornisce:

{x < 1/3

{x ≥ 0

soluzione: [0 ≤ x < 1/3]

Il secondo fornisce:

{x > - 3/7

{[- 3/7 < x < 0]

soluzione: [- 3/7 < x < 0]

Per quanto detto: 

([0 ≤ x < 1/3] ∨ [- 3/7 < x < 0]) = [- 3/7 < x < 1/3]

in grassetto la soluzione richiesta.