Composizione di funzione

a.

La f(x) descritta non è una funzione. E' probabile che √x per x > 8.

In questo caso f◦g(x) diventa

$f \circ g(x) = \begin{cases} 5x^3 &\text{ se x ≤ 0} \\ -x^3 &\text{ se 0 < x ≤ 8} \\ \sqrt{x^3} &\text{ se x > 8} \end{cases} $

b. 

Quando avrai studiato de l'Hôpital ti diranno di non usarlo. Non ti rimane che trovare un'altra via.

$ f(x) = 2x\sqrt{\frac{x+1}{x-1}} $

• Dominio = [-1, 1) U (1,+∞)   Commento. "Le parentesi"! Dal dominio ho dedotto la funzione e non viceversa.
• non è nè pari nè dispari OK
• intersezione nel punto A(-1;0) OK
• studio di segno: f(x)>0 per x>1 , f(x)<0 per x<-1, -1<x<1  OK
• Lim per x ->1+ = -inf (+∞, infatti hai \frac{2}{0^+}) asintoto verticale x=1 OK
• lim per x-> -inf =-inf OK
• lim per x -> +inf = +inf OK

che possono essere due asintoti obliqui OK

• lim x-> ±inf di f(x) /x = 2 =m (coef.angolare) OK

e nel calcolare q  mi sono bloccata, non saprei come risolverlo senza utilizzare de hopital, e non riesco nemmeno.

$ \displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} 2x\left(\sqrt\frac{x+1}{x-1} - 1\right) = $

$ = \displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} 2x\left(\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}}{\sqrt{x-1}}\right) = $

Razionalizziamo il numeratore

$ = \displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} 2x\frac{x+1 - x+1}{\sqrt{x-1}(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1} )} = $

$ = \displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} 2x\frac{2}{\sqrt{x^2-1}+|x-1|} = $

dividiamo numeratore e denominatore per x

$ = \displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} 2\frac{2}{\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}+|1-\frac{1}{x}|} =   \frac{4}{2} = 2 $

L'asintoto obliquo esiste e ha equazione y = 2x + 2