Composizione della funzione

1)

$ g \circ f(x) = \begin{cases} 2x^2-3 & \text{Se x ≥ 1} \\ 2x^3-3 & \text{Se 0 < x < 1} \\ x^3 - 4 & \text{Se x ≤ 0} \end {cases} $

2) come si fa a trovare l’immagine di una funzione?

Domanda semplice risposta in generale difficile, dipende dalla funzione.

Nel nostro caso,

• lo si può dedurre dal grafico
  

  

  Imm g◦f(x) = (-∞, -4] U (-3, +∞)

• oppure lo si calcola, ecco come
  • • dimostra la continuità delle tre funzioni
    • valuta i 2 limiti per x→±∞
    • valuta il limite per x→ 0⁺
    • valuta la funzione per x = 0
    • dimostra che non sia presente una discontinuità per x = 1
    • valuta la derivabilità delle tre funzioni
    • determina gli intervalli di monotonia delle funzioni
    • utilizza il teorema dei valori intermedi (IVT) e concludi

Credo sia tutto giusto, tuttavia non penso fosse necessario definire esplicitamente la funzione per $x=1$, dato che la definizione in formula analitica prevede lo stesso risultato. Trovare l'immagine della tua funzione definita a tratti corrisponde a trovare l'immagine di ognuna delle tue curve ed effettuare l'unione degli insiemi, scrivi $x$ in funzione di $y$ e ponilo nell'intervallo richiesto dal ramo della funzione:

$2x^2-3=y$

$\sqrt{\frac{y+3}{2}} \geq 1$

$y \geq -1$

Poi

$2x^3-3=y$

$x=\sqrt[3]{\frac{y+3}{2}}$

$0<\sqrt[3]{\frac{y+3}{2}}<1$

$0 < \frac{y+3}{2} <1$

$0<y+3<2$

$-3<y<-1$

Poi

$x^3-4=y$

$x=\sqrt[3]{y+4}$

$\sqrt[3]{y+4} \leq 0$

$y+4 \leq 0$

$y \leq -4$

Infine unendo gli intervalli $Im( g \circ f) = \{y \in \mathbb{R} | y \leq -4 \lor y > -3\}$