Considera il triangolo $A B C$, con $A(5 ; 6), B(-1 ; 3)$ e $A C$ sulla retta $r: 2 x-y-4=0$. Determina le coordinate del'incentro del triangolo, sapendo che si trova sull'altezza relativa al lato $A C$.
Considera il triangolo $A B C$, con $A(5 ; 6), B(-1 ; 3)$ e $A C$ sulla retta $r: 2 x-y-4=0$. Determina le coordinate del'incentro del triangolo, sapendo che si trova sull'altezza relativa al lato $A C$.
1
punto
Livello 0
retta AB
[5,6]
[-1,3]
(y - 6)/(x - 5) = (3 - 6)/(-1 - 5)
y = (x + 7)/2---> x - 2·y + 7 = 0
retta AC
2·x - y - 4 = 0
Il punto D[α, β] è equidistante dalle due rette di sopra e tale distanza costituisce il raggio del cerchio inscritto al triangolo ABC
d(AB) = ABS(α - 2·β + 7)/√(1^2 + (-2)^2)
d(AC)= ABS(2·α - β - 4)/√(2^2 + (-1)^2)
d(AB)=d(AC)
√5·ABS(α - 2·β + 7)/5 = √5·ABS(2·α - β - 4)/5
ABS(α - 2·β + 7) = ABS(2·α - β - 4)
quindi si ottiene: α = 11 - β ∨ α = β - 1
che corrispondono ai punti appartenenti alle due bisettrice dell'angolo in C: si dovrà prendere quindi la bisettrice interna al triangolo ABC
Quindi sfruttiamo l'ultima informazione del testo.
2·x - y - 4 = 0----> y = 2·x - 4
retta perpendicolare ad AC passante per B:
m = - 1/2 ; [-1, 3]
y - 3 = - 1/2·(x + 1)---> y = 5/2 - x/2
[α, 5/2 - α/2] coordinate del suo generico punto
se α = 11 - β si ottiene:
α = 11 - (5/2 - α/2)---> α = 17 che non appartiene all'interno del triangolo ABC
se α = β - 1 si ottiene:
α = 5/2 - α/2 - 1---> α = 1 OK!!
[1, 5/2 - 1/2]---> [1, 2] coordinate dell'incentro cercato
90131
punti
Genius II