Data la serie \sum_{n=1}^{\infty }\frac{n}{n^2+1} come stabilire se converge o no? Io ho iniziato facendo iil limite della successione con n-> infinito, ma non riesco a capire come continuare. Sul libro e` scritto "essendo la successione >= di n/(n^2+n^2) = 2/n, la serie diverge in quanto essa maggiora una serie divergente". In questgo caso laserie divergente e` presa a caso oppure c'e` un qualche criterio specifico che si deve seguire?
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Livello 0
Il tuo ragionamento è corretto.La serie ha lo stesso carattere della serie armonica perché va come n/(n^2) = 1/n e quindi diverge.
Puoi anche considerare che a1 + S_[1,+oo] x/(x^2+1) dx è divergente.
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Livello 7
Quanto riportato è corretto, vedo di ripetere i passaggi.
Controlliamo se è soddisfatta la condizione necessaria per la convergenza.
Questo non significa che converge; solo se il limite è diverso da zero possiamo dire che NON converge.
Passo successivo.
La serie data è a termini positivi, quindi si può usare il criterio del confronto.
Immaginiamo che diverga allora dobbiamo trovare una successione ${a_n}$ minore della successione della serie data, la cui serie diverga.
Non resta che trovare tale $a_n$. Come suggerito
$ \frac{n}{n^2+1} \ge \frac{n}{n^2+n^2} = \frac{1}{2n} $
nota. Se il denominatore è più grande allora il rapporto è minore
Non resta che rifarsi a una serie nota divergente, la solita serie armonica.
$ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n} = \frac{1}{2} \displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} = +\infty $
e la serie armonica è una serie divergente.
Per il criterio del confronto anche la serie data sarà divergente.
$ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{n^2+1} \ge \displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n} = +\infty$
Oss. Aver notato che i termini generali sono positivi o almeno definitivamente positivi è essenziale per l'applicazione del criterio.
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