[Risolto] come si trova la tangente a 2 circonferenze?

@lorenzo_licinio_carino

Ciao di nuovo.

Le circonferenze si scrivono:

x^2 + y^2 + 6·x - 16 = 0 ;  x^2 + y^2 - 5·x + 2·y + 1 = 0

Si deducono le posizioni dei loro centri e dei loro raggi:

La prima: [-3, 0] e r = √((-3)^2 + 16)-----> r = 5

la seconda: [5/2, -1] e r = √((5/2)^2 + (-1)^2 - 1)-----> r = 5/2

Determino la retta passante per i loro centri:

(y - 0)/(x + 3) = (-1 - 0)/(5/2 + 3)

y = - 2·x/11 - 6/11

Quindi un suo generico punto è:

[x, - 2·x/11 - 6/11]

Osservo che la variazione di r è lineare lungo la retta stessa: a partire da A a B fino ad arrivare a D (vedi figura allegata). Determino tale funzione di r.

r = 5 : x = -3-----> (-3,5)

r = 5/2 : x = 5/2-----> (5/2, 5/2)

(r - 5)/(x + 3) = (5/2 - 5)/(5/2 + 3)-----> (r - 5)/(x + 3) = - 5/11

Quindi: r = 40/11 - 5·x/11

Impongo r = 0 per determinare le coordinate di D:

0 = 40/11 - 5·x/11-----> x = 8

Quindi le due tangenti comuni alle due circonferenze si ottengono a partire dal punto esterno di esse:

D(8, - 2·8/11 - 6/11) ---> D(8, -2)

A questo punto metto a sistema:

{x^2 + y^2 + 6·x - 16 = 0

{y + 2 = m·(x - 8)

che risolvo per sostituzione:

y = m·x - 8·m - 2

x^2 + (m·x - 8·m - 2)^2 + 6·x - 16 = 0

x^2·(m^2 + 1) - 2·x·(8·m^2 + 2·m - 3) + 64·m^2 + 32·m - 12 = 0

condizione di tangenza:

Δ/4 = 0

(8·m^2 + 2·m - 3)^2 - (m^2 + 1)·(64·m^2 + 32·m - 12) = 0

- 96·m^2 - 44·m + 21 = 0

Quindi la soluzione:

m = 7/24 ∨ m = - 3/4

e quindi le due tangenti comuni:

y = 7/24·x - 8·(7/24) - 2------> y = 7·x/24 - 13/3

y = (- 3/4)·x - 8·(- 3/4) - 2------> y = 4 - 3·x/4

* Γ1 ≡ "xx+yy+6x-16=0" ≡ (x + 3)^2 + y^2 = 5^2; C1(- 3, 0), r1 = 5.
* Γ2 ≡ "××+yy-5×+2y+1=0" ≡ (x - 5/2)^2 + (y + 1)^2 = (5/2)^2; C2(5/2, - 1), r2 = 5/2.
Se esistono tangenti, esterne e/o interne, comuni alle due Γ esse devono distare r1 da C1 e contemporaneamente r2 da C2.
In questo caso, essendo le due Γ secanti e di raggi diversi, di tangenti comuni ne devono esistere due esterne e incidenti sull'asse centrale.
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Con la generica retta
* t ≡ y = m*x + q
si hanno le distanze
* |tC1| = √((q - 3*m)^2/(m^2 + 1))
* |tC2| = √((5*m + 2*q + 2)^2/(m^2 + 1))/2
da cui il sistema
* (√((q - 3*m)^2/(m^2 + 1)) = 5) & (√((5*m + 2*q + 2)^2/(m^2 + 1))/2 = 5/2) ≡
≡ (m = - 3/4) & (q = 4) oppure (m = 7/24) & (q = - 13/3)
e le tangenti richieste
* t1 ≡ y = (- 3/4)*x + 4 ≡ y = (16 - 3*x)/4
* t2 ≡ y = (7/24)*x - 13/3 ≡ y = (7*x - 104)/24
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http://www.wolframalpha.com/input?i=%5B%28x--3%29%5E2--y%5E2%3D5%5E2%2C%28x-5%2F2%29%5E2--%28y--1%29%5E2%3D%285%2F2%29%5E2%2Cy%3D%2816-3*x%29%2F4%2Cy%3D%287*x-104%29%2F24%5Dx%3D-11to11