come si svolgono?

Ho scelto l'esercizio 239 come esempio perché presenta meno calcoli da fare.

Probelma:

Verifica che la seguente funzione è invertibile e determina l'espressione analitica della funzione inversa.

$y=-2x+7$

Soluzione:

Una funzione è invertibile se e solo se è iniettiva, ossia vale che $f(x_1)=f(x_2) \rightarrow x_1=x_2$. Questa dicitura in parole povere significa che ad un punto dell'asse delle ordinate corrisponde un unico punto dell'asse delle ascisse. Questa definizione è importante quindi pensaci su qualche minuto, potrebbe esserti utile disegnare il grafico della funzione data per capire ciò a pieno.

Per verificare l'iniettività è necessario utilizzare la proposizione scritta in precedenza.

$f(x_1)=f(x_2) \rightarrow x_1=x_2$

Nel caso in questione, osserva bene il pattern, è necessario trovare solo i due ingredienti del primo pezzo della proposizione dato che il resto è solo una implicazione. È necessario trovare $f(x_1)$ ed $f(x_2)$.

Osserva bene cosa è stato fatto nonostante non lo abbia detto, ciò è l'unica cosa che puoi fare avendo quelle informazioni, deve essere naturale.

$f(x_1)=-2(x_1)+7$

$f(x_2)=-2(x_2)+7$

Applicando la proposizione, non va imparata a memoria ma capita a pieno, si ha:

$f(x_1)=f(x_2) \rightarrow -2(x_1)+7=-2(x_2)+7$

Procedendo come se fosse una normale equazione:

$-2(x_1)+7=-2(x_2)+7 \rightarrow -2(x_1)=-2(x_2) \rightarrow x_1=x_2$. Dunque la funzione è iniettiva e dunque anche invertibile, visto che è verificata $f(x_1)=f(x_2) \rightarrow x_1=x_2$.

Nota: non ti dirò come si fa nei casi in cui è presente una potenza $x^n$. Presta solo moltissima attenzione ai segni ed alle condizioni di esistenza, se hai dubbi puoi sempre chiedere qui, ma in matematica la domanda da porsi sempre è "perché dovrebbe essere giusto fare così?". Non bisogna avere fretta, ma capire a fondo.

Poiché la funzione è iniettiva, dunque è invertibile. Per calcolare la funzione inversa è necessario applicare questa procedura algoritmica.

Vi sono due modi, puoi sostituire x ed y prima di trovare l'inversa o farlo alla fine; io preferisco farlo alla fine, ma segui il metodo del tuo docente.

$y=-2x+7$

La cosa più naturale da fare, ed unica possibile con i dati forniti, è risolverla cercando la x.

$y=-2x+7 \rightarrow y-7=-2x \rightarrow x=\frac{y-7}{-2}=\frac{7-y}{2}$.

Sostituendo x con y, questa operazione ha un significato geometrico che puoi capire tracciando il grafico dell'inversa insieme a quello della funzione iniziale, si ottiene la funzione inversa.

$y=\frac{7-x}{2}=\frac{7}{2}-\frac{x}{2}$

La funzione inversa si indica convenzionalmente con $f^{-1}(x)$.