Determinare $n$ in modo che
$2^{n} \cdot 5^{n}=100 \quad 16^{n}: 8=32 \quad 2^{2^{n}}=256$
Determinare $n$ in modo che
$2^{n} \cdot 5^{n}=100 \quad 16^{n}: 8=32 \quad 2^{2^{n}}=256$
Stesso esponente, si moltiplicano le basi.
2^n * 5^n = (2 * 5)^n = 10^n;
10^n = 100;
Log (10^n) = n;
Log 100 = 2; (Log = logaritmo in base 10),
n = 2;
10^2 = 100.
16^n / 8 = 32;
16 = 2^4;
8 = 2^3,
32 = 2^5;
(2^4) ^n /(2^3) = 2^5;
2^(4n) /(2^3) = 2^5;
2^ (4n - 3) = 2^5;
4n - 3 = 5;
4n = 5 + 3;
n = 8/4 = 2;
16^2 / 8 = 256 / 8 = 32.
2^(2^n) = 256;
256 = 16^2 = (2^4)^2 = 2^8;
2^(2^n) = 2^8;
2^n = 8;
2^n = 2^3;
n = 3;
2^(2^3) = 2^8 = 256.
Utilizzando le proprietà delle potenze che hanno tutte per base 2
* (2^n)*5^n = (2*5)^n = 10^n = 100 ≡ n = 2
---------------
* 16^n/8 = (2^4)^n/2^3 = 2^(4*n)/2^3 = 2^(4*n - 3) = 32 = 2^5 ≡
≡ 2^(4*n - 3) = 2^5 ≡
≡ 4*n - 3 = 5 ≡
≡ n = 2
---------------
* 2^(2^n) = 256 = 2^8 ≡
≡ 2^n = 8 = 2^3 ≡
≡ n = 3
1)
2^n *5^n = 100
si fa il prodotto delle basi elevato all'esponente comune
(2*5)^n = 100
10^n = 100
n = 2 ...infatti 10^2 = 100
2)
16^n / 8 = 32
16^n = 256
n = 2 .... infatti 16^2 = 256
3)
2^(2^n) = 256
256 = 16*16 = 2^4*2^4 = 2^(4+4) = 2^8
2^(2^n) = 2^8
2^n = 8
n = 3 ...infatti 2^3 = 8
Sono calcoli facili : si fanno a mente senza usare i logaritmi