come posso risolverlo?

Le dimensioni(3,4,5) in cm del triangolo rettangolo primitivo sono proporzionali a quelle della base del prisma che, pertanto sono: (6,8,10) in cm

perimetro di base=6 + 8 + 10 = 24 cm

altezza prisma= 2/3·24 = 16 cm

volume=Area base* altezza=1/2·(6·8)·16 = 384 cm^3

ipotenusa = 10 cm 

c/C = 3/4 , il che ne fa una terna pitagorica 3,4 e 5 

C = 10/5*4 = 8 cm

c = 10/5*3 = 6 cm 

perimetro 2p =6+8+10 = 24 cm

altezza h = 2p*2/3 = 24/3*2 = 16 cm

volume V = Ab*h = 6*4*16 = 384 cm^3

In un prisma retto l'altezza è 2/3 del perimetro di base, la base è un triangolo rettangolo i cui cateti sono uno 3/4 dell'altro e l'ipotenusa misura 10 cm. Calcola il volume del prisma.

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Triangolo rettangolo di base:

visto il rapporto i cateti con l'ipotenusa formano una terna pitagorica $[3,4,5]$ moltiplicata per 2; comunque calcolando poni i cateti come segue:

cateto minore $c=3x;$

cateto maggiore $C=4x;$

applica il teorema di Pitagora:

$\sqrt{(3x{)}^2+(4x{)}^2}=10$

$\sqrt{9x^2+16x^2}=10$

$\sqrt{25x^2}=10$

$5x=10$

${\displaystyle \frac{\cancel{5}x}{\cancel{5}}}={\displaystyle \frac{10}{5}}$

$x=2$

per cui:

cateto minore $c=3x=3\times 2=6cm;$

cateto maggiore $C=4x=4\times 2=8cm;$

perimetro $2p=8+6+10=24cm$ (= perimetro di base del prisma);

area $A={\displaystyle \frac{C\times c}{2}}={\displaystyle \frac{{\cancel{8}}^4\times 6}{{\cancel{2}}_1}}=4\times 6=24c{m}^2$ (= area di base del prisma);

altezza del prisma $h={\displaystyle \frac{2}{3}}\times 2p={\displaystyle \frac{2}{{\cancel{3}}_1}}\times {\cancel{24}}^8=2\times 8=16cm;$

volume $V=Ab\times h=24\times 16=34c{m}^3.$