come neve al sole

dr/dt = - k * 4 pi r^2

r(0) = 6

r(6) = 4

risolviamo

- dr/r^2 = 4 k pi dt

1/r = 4 pi k t + C

r = 1/(4 pi k t + C)

6 = 1/(0 + C) => C = 1/6

r = 1/( 4 k pi t + 1/6 ) = 6/(1 + 24 k pi t)

4 = 6/(1 + 24 k * 6 pi )

1 + 144 k pi = 3/2

144 k pi = 1/2

k = 1/(288 pi)

r = 6/(1 + 24pi/(288pi) t) = 6/(1 + t/12) = 72/(12 + t)

Se il volume V = 4/3 pi r^3 é metà di quello iniziale

il raggio é sceso a 6/rad_3(2)

72/(12 + t) = 6/rad_3(2)

(12 + t)/72 = rad_3(2) /6

12 + t = 12 rad_3(2)

t* = 12*(rad_3(2) - 1) minuti = 3.119 minuti = 3'07''.14

dr/dt = - k * 4 pi r^2

r(0) = 6

r(6) = 4

risolviamo

- dr/r^2 = 4 k pi dt

1/r = 4 pi k t + C

r = 1/(4 pi k t + C)

6 = 1/(0 + C) => C = 1/6

r = 1/( 4 k pi t + 1/6 ) = 6/(1 + 24 k pi t)

4 = 6/(1 + 24 k * 6 pi )

1 + 144 k pi = 3/2

144 k pi = 1/2

k = 1/(288 pi)

r = 6/(1 + 24pi/(288pi) t) = 6/(1 + t/12) = 72/(12 + t)

Se il vplume V = 4/3 pi r^3 é metà di quello iniziale

il raggio é sceso a 6/rad_3(2)

72/(12 + t) = 6/rad_3(2)

(12 + t)/72 = rad_3(2) /6

12 + t = 12 rad_3(2)

t* = 12*(rad_3(2) - 1) minuti = 3.119 minuti = 3'07''.14

"trova l equazione differenziale che governa il fenomeno"
La si scrive traducendo in simboli la descrizione in narrativa.
* "il suo raggio": r
* "diminuisce con velocità": la rapidità di variazione nel tempo t è negativa (dr/dt = - qualcosa)
* "velocita' proporzionale": di costante a^2/(4*π) > 0
* "proporzionale alla superficie": 4*π*r^2
Equazione differenziale: dr/dt = - (a^2/(4*π))*4*π*r^2 ≡
≡ dr/dt = - (a^2)*r^2
da cui
* r(t) = 1/((a^2)*t + 1/R)
dove
* r(0) = R
------------------------------
"determina la funzione r(t), con t misurato in minuti ed r in centimetri"
La si determina traducendo in simboli la descrizione in narrativa.
* "all inizio": t = 0
* "ha un raggio di 6cm": r(0) = R = 6
da cui
* r(t) = 1/((a^2)*t + 1/6)
---------------
* "dopo 6 minuti": t = 6
==============================
* "il raggio e' di 4cm": r(4) = 4 <=== MEGAMINCHIATA!
cioè
* r(4) = 1/((a^2)*4 + 1/6) = 4
da cui
* a^2 = 1/48
* r(t) = 1/(t/48 + 1/6) = 48/(t + 8)
fine MEGAMINCHIATA
==============================
VERSIONE EMENDATA, grazie @EidosM
* "il raggio e' di 4cm": r(6) = 4 <=== ci vuole un SEI
cioè
* r(6) = 1/((a^2)*4 + 1/6) = 4
da cui
* a^2 = 1/72
* r(t) = 72/(t + 12)
------------------------------
VERSIONE EMENDATA
"quanto tempo ci vuole affinche la paal dmezzi il suo volume?"
Qui non c'è nulla da tradurre, è solo un po' d'algebretta.
* V(t) = (4/3)*π*(r(t))^3
* V(0) = (4/3)*π*6^3
* V(x) = (4/3)*π*(72/(x + 12))^3
* V(0)/V(x) = (4/3)*π*6^3/((4/3)*π*(72/(x + 12))^3) = 2 ≡
≡ (x + 12)^3/1728 = 2 ≡
≡ (x + 12)^3 = 3456 = 2*12^3 ≡
≡ x + 12 = 12*2^(1/3) ≡
≡ x = 12*2^(1/3) - 12 = 12*(2^(1/3) - 1) ~=
~= 3.1190525987 = 3 min 7.143 s
IN PERFETTO ACCORDO

quando una palla di neve si scioglie il suo raggio diminuisce con una velocita' proporzionale alla superficie della palla

trova l equazione differenziale che governa il fenomeno

.,.. anche se non facciamo ipotesi sul segno di k...

dr/dt = k*S(r) = k*4pi*r²        (*)

all inizio la palla di neve ha un raggio di 6cm e che dopo 6 minuti il raggio e' di 4cm determina la funzione che descrive il variare del raggio nel tempo t calcolato in minuti

con t in minuti ... ed r in m

r(0) = 0.06 ; r(6) = 0.04

la (*) è a variabili separabili:

dr/r² = k*4pi*dt

e integrando indef.

r^(-2+1)/(-2+1) = k*4pi*t + cost ---> -1/r = k*4pi*t + cost ---> r = -1/(k*4pi*t + cost) <---integr.gener.

per trovare il nostro integrale particolare { k è ancora da determinare ... ma di condizioni ne abbiamo "due"!!} imponiamo la condizione iniziale r(0) = 0.04 ...
-1/0.06 = k*4*pi*0 + cost ---> cost = - 1/0.06

r = -1/(k*4pi*t + cost) ---> r = -1/(k*4pi*t - 1/0.06)

resta da determinare k e lo facciamo con la condiz. r(6) = 0.04 m

-1/0.04 = k*4*pi*6 - 1/0.06 --->(1/0.06 -1/0.04)/(24pi ) = k ---> k = (-25/3)/(24pi ) ---> k = (-25)/(72pi ) ---> k≈-0.110524

r(t) =~ -1/(-0.110524*4pi*t - 1/0.06) --> r(t) = ~1/(0.110524*4pi*t + 1/0.06)  (**)

quanto tempo ci vuole affinche la paal dmezzi il suo volume?

detto t' l'istante in cui il vol =4piR³/3 si dimezza , cioè passa al valore vol' =4pir'³/3 =vol =4piR³/6 ----> r' = R/radcub2 = 0.06/(2)^(1/3)  

sostituendo il valore di r'  nella (**) si ha: 

t' = ~ 3.119 min