[Risolto] Come leggere la definizione

Non so se interpreto bene la tua domanda... Se "come si dica a parole" intendi proprio di trascrivere senza formule la definizione, allora hai:

Sia A appartenente a $C^{n \times n}$. I cerchi del piano complesso $K_i$ sono gli insiemi di elementi $z$ in $C$ tali che il modulo della differenza $z-a_{ii}$ è $\leq$ della somma dei moduli degli elementi $a_{ij}$ con $j\neq i$.

Suppongo che la definizione non ti sia chiara "a parole" perché forse non è chiaro il contesto. Se è così, cerco di spiegarti cosa stai leggendo, altrimenti puoi ignorare il seguito della risposta.

Prima di tutto nota che $A \in C^{n \times n}$ sono matrici quadrate i cui elementi sono numeri complessi. 

Mettiamoci ad esempio in $C^{2\times 2}$, un elemento A potrebbe essere qualcosa del tipo:

$ A = \begin{bmatrix} i & 0 & 1 \\ 0 & 1+i & 3 \\ -2i & 1 & 0 \end{bmatrix}$

Ora, un cerchio nel piano $R^2$ è dato dall'insieme dei punti $x=(x_1, x_2)$  che abbiano distanza dal centro pari o minore del raggio:

$ |x-x_C| \leq r$ 

In questo caso $z$ è un elemento di $C$, quindi un numero complesso (non una matrice) e $A$ è con un po' di fantasia il nostro "centro".

Prima di tutto in questo caso con "distanza" intendiamo il modulo del numero complesso (nota che tra i numeri complessi non è possibile definire un ordinamento, quindi dobbiamo usare il modulo per tornare ai reali, su cui invece ha senso parlare di "minore" e "maggiore").

Nota inoltre che $z$ è un elemento di $C$ mentre $A$ è una matrice quadrata a elementi in $C$, quindi non possiamo considerare una semplice sottrazione.

Quello che facciamo allora è prendere un elemento della diagonale, $a_{ii}$, che è un numero complesso in $C$ come $z$ e calcolare il modulo della differenza: $|z-a_{ii}|$.

Ovviamente sulla diagonale abbiamo $n$ elementi, quindi avremo $n$ cerchi $K_i$.

Nel nostro esempio siamo in $C^{3\times 3}$ quindi avremo i cerchi $K_1$, $K_2$ e $K_3$. Partiamo da $K_1$, con indice $i=1$. Prendiamo quindi l'elemento $a_{11}= i$

La distanza sarà dunque $|z-i|$.

Questa distanza dev'essere minore della somma dei moduli degli $a_{ij}$, che nel nostro caso sono $a_{12}$ e $a_{13}$ (dobbiamo escludere $a_{11}$ perché $i=j$). Questi sono una generalizzazione del nostro "raggio".

Quindi il primo cerchio è l'insieme degli $z\in C$ tali che:

$|z-i| \leq |0| + |-2i| = 2$

Che altro non è che il cerchio di centro (0,i) e raggio 2.

Spero sia più chiaro il tutto!

Noemi