[Risolto] Come approcciarsi ad esercizi del genere?

"Come approcciarsi ad esercizi del genere?" è una domanda ambiziosa: nella sua apparente impersonalità sta chiedendo una risposta che sia valida per ogni possibile istanza particolare della seguente situazione generica.
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Dati, con (0 < m < n) & (0 < k <= n),
* un insieme W = {v} di m vettori su R^n
* un insieme C = {c} di combinazioni lineari dei 'v'
dimostrare o confutare la tesi «C è una base di W».
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Alla formulazione generica della consegna corrisponde di necessità una risposta altrettanto generica: calcolare una base B di W e poi dimostrare o confutare la tesi «B è riducibile a C».
Ovviamente specificare tale procedura richiede assai più spazio e tempo di una risposta su questo sito.
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Se avessi domandato "Mi mostri come tu risolvi quest'esercizio, per piacere?" t'avrei risposto come segue.
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1) Adottare una notazione un po' più umana.
* W = {a{1, 2, 0, 2}, b{2, 1, 1, 0}, c{5, 4, 2, 2}}
* C1 = {a, b, c}
* C2 = {a}
* C3 = {a, b, c, a + 2*b}
* C4 = {a, b}
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2) Calcolare |W|.
* |W| = rank[{{1, 2, 0, 2}, {2, 1, 1, 0}, {5, 4, 2, 2}}] = 2
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3) Calcolare una base B di W.
* B = {{1, 2, 5}, {2, 1, 4}}
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4) Per le quattro verifiche necessarie a dimostrare o confutare la tesi «B è riducibile a C» ti rimando alla procedura dettagliata al link
http://www.youmath.it/lezioni/algebra-lineare/matrici-e-vettori/710-matrice-di-passaggio.html