Combinazioni

Per calcolare in maniera diretta basta svolgere questa somma $S_3= \sum_{n=0}^{3} \binom{3}{n}=8$, perché $\binom{3}{0}=1 + \binom{3}{1}=3 + \binom{3}{2}=3 + \binom{3}{3}=1$ quindi $1+1+3+3=8$. Allo stesso modo per la seconda si procede calcolando la somma $S_5 = \sum_{n=1}^{4} \binom{5}{n}=30$, perché $\binom{5}{1} =5 + \binom{5}{2}=10 + \binom{5}{3}=10+\binom{5}{4}=5$ quindi $5+5+10+10=30$. Se vuoi ragionare con gli insiemi, conviene ricordare il concetto di partizione di un insieme: si dice partizione di un insieme $X$, quella famiglia $F$ di sottoinsiemi, ognuno dei quali è disgiunto dall'altro e non vuoto, di $X$ tali che la loro unione è $X$. Secondo questa definizione basta contare intuitivamente il numero di sottoinsiemi propri per $\textbf{b}$, ad ex. i sottoinsiemi propri di cardinalità 1 rispetto ad un insieme di 5 la cui unione è una partizione dell'insieme sono proprio 5 (uno per ogni elemento), con due elementi invece si vede facilmente che il numero totali di sottoinsiemi è 10 e lo stesso con 3 per le proprietà del coefficiente binomiale (puoi enumerarle anche a penna su un foglio se preferisci), e infine con 4 sono di nuovo 5. Applicando lo stesso ragionamento e sapendo che i sottoinsiemi impropri sono 2 per ogni insieme otterrai il risultato previsto anche in $\textbf{a}$ (si dice sottoinsieme improprio di $A$, quell'insieme $B$ tale che $B=A$ oppure $B= \emptyset$).